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1、含参数导数问题的探究与拓展（含参导数的三个基本讨论点）一、导入：导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本专题就来讨论这一问题，供大家参考。二．基础训练1.求函数的单调区间和极值点
2、。答案：（1）函数单调递增区间是（-∞，+∞）；无极值点a<0时，单调递增区间是：（-∞，，单调递减区间是：是函数的极大值点，是极小值点。2.若函数f(x)＝mx2－x＋lnx.在定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，则实数m的取值范围。___________.3.若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．b＞0.4.已知函数f(x)＝.若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a,2a](a＞0)都成立，求m范围．解 ：由题m＞，①②③∴当a≤时，m＞；当a≥e时，m＞，
3、当＜a＜e时，m＞.三、范例解析（一）求导后，考虑导函数是否有零点（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。例1（2008年高考广东卷（理科）设，函数，试讨论函数的单调性。解：。考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；（2）当时，。由，得，因为，所以。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两
4、种情况讨论。（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；（2）当时，。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。综上所述：（1）当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。（2）当时，函数在上为增函数，在上为减函数。（3）当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。练习1：（2010辽宁文数）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，.解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0,故f(x)在(0
5、,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；x∈(，+)时，＜0,故f(x)在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.于是≤＝≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即 f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，. 二、求导后，导函数有零点（或导函数
6、的分子能分解因式），但不知导函数的零点是否落在定义域内，从而引起讨论。例2(2008高考浙江卷理科)已知是实数，函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值。（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。（1）当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。（2）当时，由，得；由，得。因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。
7、（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以。②当，即时，在上单调递减，所以。综上所述，（）令。①若，无解；②若，由解得；①若，由解得。综上所述，的取值范围为。练习2：三．求导后，导函数有零点（或导函数的分子能分解因式）,导函数的零点也落在定义域内，但不知这些零点根的大小关系，从而引起讨论。例3（2007年高考天津理科卷）已知函数，其中。（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。（Ⅱ）由于，所以。由
8、，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。（1）当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。（2）当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。练习3：（07高考山东理科卷改编）设函数，其中，求函数的极值点。解：由题意可得的定
