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1、概率论与数理统计习题湘潭大学编教材1湘潭大学数学与计算科学学院第一章随机事件及概率2湘潭大学数学与计算科学学院P23习题1.3试证证明：由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有故有P23习题1.7在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。解：用x,y分别表示从(0,1)中取出的2个数，则样本空间Ω为正方形：如图所示，K为区域：K所以由几何概率得:x+y=6/5解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得红球}P23习题1.9袋中有10个球，其中8个红球，2个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率：(1)两次都取红球；(2
2、)两次中一次取得红球，另一次取得白球；(3)至少一次取得白球；(4)第二次取得白球。解(1)P(AB)=P(A)P(B
3、A)解：设A={甲译出密码},B={乙译出密码},P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4则A,B,C相互独立，且C={丙译出密码}.则此密码被译出的概率为P23习题1.10甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被译出的概率。P23习题1.11玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机
4、地查看4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯,否则退回，求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。解(1)设Ai＝{一箱玻璃杯中含有i个残次品},i=0,1,2;B={从一箱玻璃杯中任取4只无残次品},由题设可知P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1.根据全概率公式得P23习题1.12设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。解设A＝{经过校正的枪},C={射击中
5、靶},由题设可知P(A)=5/8,P(B)=3/8,P(C
6、A)=0.8,P(C
7、B)=0.3.根据全概率公式得B＝{未经校正的枪},P23习题1.13对飞机进行3次独立射击,第1次射击的命中率为0.4、第2次为0.5、第3次为0.7.飞机被击中1次而坠落的概率为0.2,被击中2次而坠落的概率为0.6,若被击中3次飞机必坠落,求射击3次使飞机坠落的概率.设B={飞机坠落}，Ai={飞机被击中i次},i=1,2,3由全概率公式则B=A1B+A2B+A3B,解:依题意，P(B
8、A1)=0.2,P(B
9、A2)=0.6,P(B
10、A3)=1P(B)=P(A1)P(B
11、A1)+P(A2)
12、P(B
13、A2)+P(A3)P(B
14、A3)可求得:为求P(Ai),将数据代入计算得:设Hi={飞机被第i次射击击中},i=1,2,3P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机坠落的概率为0.458.P(B)=P(A1)P(B
15、A1)+P(A2)P(B
16、A2)+P(A3)P(B
17、A3)P24习题1.14某人每次射击的命中率为0.6，独立射击5次，求：（1）击中3次的概率；（2）至少有1次未击中的概率.解:（1)(2)考虑至少有1次未击中的对立事件，即每次都击中，其概率为：故至少有1次未
18、击中的概率为P24习题1.15某车间有12台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为0.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率.解：设A={任一指定时刻有3台以上车床发生故障},又因为则A={在任一指定时刻有少于3台车床发生故障}有0台车床发生故障的概率为有1台车床发生故障的概率为有2台车床发生故障的概率为故P24习题1.16若1人负责维修同类型的设备20台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是0.01，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3人共同负责维修8
19、0台呢？解:(1)设A={设备发生故障而不能得到及时处理},则A={在任一时刻至多有1台设备发生故障}故解:(2)设A={设备发生故障而不能得到及时处理},则A={在任一时刻至多有3台设备发生故障}故第二章随机变量及其分布21湘潭大学数学与计算科学学院P43习题2.3一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为1/2。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的概率分布与E[1/(1+X)]。解:X的取值为0,1,2
