高考数学集合总复习-数列-综合应用.docx

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1、数列的综合应用答案自主梳理1．(4)n＝1或n≥2自我检测1．C　2.B　3.C　4.C　5.B6.课堂活动区例1　解题导引　1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解　(1)由已知得，解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2

2、q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln2.故Tn＝ln2.变式迁移1　D　[设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a1＋2d＝4，又04，故(2)正确；a4＝a3＋d>5，所以b4＝2a4>32，

3、故(3)正确；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝2a2＋a4＝28＝256，故(4)正确．]例2　解题导引　这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.解　(1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋，∴{an}是以为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝n＋.(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－(a2＋a4＋…＋a2n)＝－·＝－(2n2＋3n)．(3)当

4、n≥2时，bn＝＝＝，又b1＝3＝×，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝×＝＝，∵Sn<对一切n∈N*成立．即<，又∵＝递增，且<.∴≥，即m≥2010.∴最小正整数m＝2010.变式迁移2　解　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.∴a2＋a4＝20.∴解之，得或又{an}单调递增，∴　∴an＝2n.(2)bn＝2n·log2n＝－n·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②

5、∴①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.由Sn＋(n＋m)an＋1<0，即2n＋1－n·2n＋1－2＋n·2n＋1＋m·2n＋1<0对任意正整数n恒成立，∴m·2n＋1<2－2n＋1对任意正整数n，m<－1恒成立．∵－1>－1，∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]．例3　解　依题意，第1个月月余款为a1＝10000(1＋20%)－10000×20%×10%－300＝11500，第2个月月底余款为a2＝a1(1＋20%)－a1×20%×10%－300，依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元

6、，第n＋1个月月底的余款为an＋1元，则an＋1＝an(1＋20%)－an×20%×10%－300＝1.18an－300.下面构造一等比数列．设＝1.18，则an＋1＋x＝1.18an＋1.18x，∴an＋1＝1.18an＋0.18x.∴0.18x＝－300.∴x＝－，即＝1.18.∴数列{an－}是一个等比数列，公比为1.18，首项a1－＝11500－＝.∴an－＝×1.18n－1，∴a12－＝×1.1811，∴a12＝＋×1.1811≈62396.6(元)，即到年底该职工共有资金62396.6元．纯收入有a12－10000(1＋25%)＝62396.6－

7、12500＝49896.6(元)．变式迁移3　解　(1)设中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则an＝250＋(n－1)·50＝50n＋200，Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400·(1.08)n－1.由题意可知an>0.

8、85bn，即50n＋200>400·(1.08)n－