微积分必考题.docx

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1、.微积分(B)上册必考题微积分的必考可能难题是：求极限，求积分，微分方程，证明等式和不等式，应用题（相关变化率，微分方程，元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题，此处难点在积分和微分方程的求解）一、极限求极限的几个原则:a.能先求的先求，能化简的化简，能等价无穷小替换就替换b.洛必达法则c.泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式（可采用倒代换）1.用四则运算求极限limx2+3x+4x?03x+1lg(2+x2)lim((1-x)2)x?0+cosx对于非未定式，考试有可能表达式看起来很难，但实际上直1/19.接带入求极限，别犯

2、傻！2.用两个重要极限，这里只讲幂指函数极限lim(tanx)tan2xx?p4幂指函数，且里面极限是1，就可以凑一个“1+”，在用两个重要极限求极限时，若底数化成e指数出现了带有极限变量的乘积项，则可用倒代换化成分式。lim(cosaa)xlimx(cosa+ksina-1)x+ksinex?￥xxx?￥x此时，令即可。alima(cost+ksint-1)x=t?0tt,就e,用泰勒公式展开3.等价无穷小的替换，实际上是泰勒公式的特殊情况，只不过就展开了一项。4.能求出的极限先求出来（其实也是泰勒公式的展开，只不过就展开了一个

3、常数项而已）lim(1+tanx-1+sinx)x?0x1+sin2x-x2/19.lim((1+tanx-1+sinx)(1+tanx+1+sinx))x?0(x1+sin2x-x)(1+tanx+1+sinx)lim(tanx(1-cosx))x?0(x1+sin2x-x)(1+tanx+1+sinx)上面两个等价无穷小替换，下面有一项能先求出来。**先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样，必须是一个乘积项5.洛必达法则**用之前，判断未定式！！！上下项数不多，导数好求。缺点：比如sinx等等永远无法用多项式表示，若遇到上下

4、幂次很高，求导将变得十分复杂。1+1x2-1+x2lim(2)(cosx-ex)sin(x2)如：x?000,￥0,1￥三种类型对于0￥，直接就能看出来3/19.6.泰勒公式把非多项式函数近似成多项式函数,用泰勒公式之前，先想想是否可以等价无穷小替换。缺点：展开式可能复杂，需要记忆如：lim(ex3-1-x3)6x?0sin2x下面显然可以用等价无穷小替换，而上面只需要第一项的局部麦克劳林公式即可，需要记住这些：ex,ln(1+x),(1+x)a,sinx,cosx11-x有关泰勒公式的几个问题：1.o(x2-x)o(x2)?2.o(

5、x+1)o(x)?3.o(2x)o(x)4.x*o(x2)=o(x3)?5.o(x2)*o(x3)=o(x5)?,4/19.o(x)6.小心：x要在x?0时才=0！想x?￥时的分式函数能用泰勒公式展开吗？二、求积分求某函数的原函数后，原函数必须在与这个函数的同定义区间内可微。如f(x)=sgn(x)没有原函数（假设有，在x=0不可微），因此有：每一个有第一类间断点的函数都没有原函数。求积分的几个原则：1.基本类型f(x)1.f(xn1)xndx;2.xdx;3.f(lnx)dx;f(1)4.x2xdx;x5.f(sinx)cosxd

6、x;6.f(ax)axdx;7.f(tanx)sec2xdx;2.照方抓药型(相差一个线性函数)3.òsin2xcos5xdx型5/19.有sin找cos，没有现成的cos用半角公式，如：1òdx,用半角公式：sinx1d(x)=òxx2sincos221x)=òd(x2tanxcos2221x=òxd(tan2)tan24.第二类换元法，一般换：根号下的，角频率中的，重复项，换元后回带第二类换元法开方出来小心绝对值根式代换：x5dx，1dx.ò1+x2ò1+ex倒代换（分母阶数较高）1dx，x41dx.x2ò71x(x+2)最小公倍

7、数根式代换6/19.1dx.xxxxe6=t1e2e3e61dx.6x=tx(13x)角频率代换：np1+sinxdxò0nx=nt5.分数乘积化为部分分式代数和二次质因式配方首先，假分式可以化为真分式6.使用分部积分三个典型的分部积分①若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u。②若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u③òexsinxdx与sin(lnx)dx.出现循环序（每次要把相同的东西往微分符号中凑）除典型分部积分以外，还有这些要分部：①e3

8、xdx如果换元变成2te3tdt(t=x),变为了典型的分òò部积分7/19.xearctanxdx有一大部分都可以往微分符号中放，②ò2如此题中(1+x2)3的earctanx③òarctanxdx,òsin(lnx)