因式分解-讲义.doc

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1、因式分解(一)-一般方法　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．　　1．运用公式法　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如

2、：　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．　　下面再补充几个常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；　　(8)an+bn=(a+b)(an-1-an-2

3、b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．　　例1分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．　　例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．　　　　例3分解

4、因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　　2．拆项、添项法　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．　　例4分解因式：x3-9x+8．　　　　例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3；　　(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；　　(3

5、)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；　　(4)a3b-ab3+a2+b2+1．　　　　3．换元法　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．　　例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．　　　　例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．　　　　例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　　　例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．　　　例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)

6、．　　　1．　　(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．(1)x3+3x2-4；　　(2)x4-11x2y2+y2；　　(3)x3+9x2+26x+24；　　(4)x4-12x+323．　　3．(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；　　(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；　　(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4、　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2=；　　(2)x2-y2+5x+3y+4=；　　(3)xy+y2+x-y-2=

7、；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2=;(5)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=.因式分解(二)--求根法分解因式　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)　　f(1)=12-3×1+2=0；　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．　　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的

8、一个根．　　定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．　　根据因式定理，找出