高三数学典型例题4 函数.doc

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1、高三数学典型例题四函数（2）例1、已知函数（a>0，b>0，a≠1）．　　（1）求f(x)的定义域；　　（2）讨论f(x)的奇偶性；　　（3）讨论f(x)的单调性；　　（4）求f(x)的反函数f－1(x)．例2、设，且a∈R，若当时，f(x)有意义，求a的取值范围．例3、已知的定义域为R，值域为[0，2]，求m、n的值.例4、已知函数y=f(x)=loga(a－kax)（a>0且a≠1，k∈R）.　　（1）若f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(2)=－2loga2，求a的值；　　（2）当0

2、时，若f(x)在[1，＋∞）内恒有意义，求k的取值范围.例5、设a∈R，讨论关于x的方程在什么情况下有解，　　　并在方程有解时求出方程的解．例6、已知函数f(x)=3x，且f－1(18)=a＋2，g(x)=3ax－4x的定义域为区间[－1，1].　　（1）求g(x)的解析式；　　（2）判断g(x)的单调性；　　（3）若方程g(x)=m有解，求m的取值范围；　　（4）若方程g(

3、x

4、)＋2

5、x

6、＋1=m恰有4个不相等的实数根，求m的取值范围.例1、分析：利用函数的性质，并结合对数函数的知识求解．解答：①

7、令，解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．②因f(－x)=，故f(x)是奇函数．③令，则在（－∞，b）和（b，＋∞）上是减函数，所以当0

8、、分析：本题可采用命题转化思想．f(x)有意义，必须，将原命题转化为不等式，再变形为，进而转化为求指数函数的最值，最后转化为指数函数的单调区间．解答：因为，　　所以．　　　当且仅当a大于的最大值时，恒成立．　　　而在R上是单调增函数，又，所以当且仅当x=1时，　　　的最大值为评析：如果考虑不到利用函数的单调性求最值，可将利用换元转化为二次函数，利用配方法求最值．例3、分析：即求m、n的值，使函数的值域为[1，9].解答：　　　　　　　　　若u－m=0，即u=m，则此时u=5∈[1，9]，满足条件.　　

9、　综上，得m=n=5.点评：本题解答运用了研究函数值域的常用方法——判别式法.例4、分析：“f(x)的图象关于直线y=x对称”“f(x)与f－1(x)是同一函数.”解答：（1）　　　　　　　　由条件知f(x)与f－1(x)是同一函数，　　　　（2）由a－kax>0得k

10、化为最值问题来处理：　　①f(x)a恒成立f(x)min>a.　　②f(x)a有解f(x)max>a.例5、分析：将对数方程等价转化为混合组，并简化混合组求解．解答：原方程同解于即由④得，它显然满足①、②，把它代入③得a≥0．故当a≥0时，原方程有解评析：在解含有参数的对数方程时，一般是先将对数方程等价转化为混合组，并简化混合组求解．　　本题中的方程还可以看成a是x的函数式，当且仅当a在该函数的值域内取值时，即a的取值范围为

11、函数的值域时，方程有解．这种方法在解决当方程有解求参数的范围这类问题中常用，请读者按照此题法解决本题．例6、解：（1）　　　（2）.　当x∈[－1，1]时，，令t=2x.　　　由二次函数单调性知上是减函数.　　　∴函数g(x)在[－1，1]上是减函数．（3）由（2）知，方程g(x)=m有解方程2x－4x=m在[－1，1]内有解∴m的取值范围是.（4）由x∈[－1，1]知：

12、x

13、∈[0，1]，记u=2

14、x

15、∈[1，2]，　　方程g(

16、x

17、)＋2

18、x

19、＋1=m恰有四个不相等的实数根　　方程(2

20、x

21、)2－

22、3·2

23、x

24、＋m=0在[－1，1]内有四个不同解　　方程u2－3u＋m=0在[1，2]内有两不等实数根，　　记，则有　　　点评：题中第（1）问也可先求出f－1(x)，再由已知等式解出a值，但没有利用互为反函数间关系解答方便，第（2）问还可以直接利用单调性的定义或导数法解决；第（3）问的解法是通过换元将方程转化为t的二次方程，并运用二次函数的性质帮助解决，该问题还可以用求根公式或二次函数图象帮助解决，但没有上述将参数与变量分离的方法简单；最后一问是图象法，