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1、第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题考向分析核心整合热点精讲阅卷评析考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ利用导数解决与函数有关的不等式恒成立问题21利用导数解决与不等式有关的问题212121212121真题导航(2)证明:f(x)>1.2.(2014新课标全国卷Ⅱ,理21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;解:(1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,等号仅当x=0时成立.
2、所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.3.(2013新课标全国卷Ⅱ,理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.备考指要1.怎么考导数的综合应用是高考命题的重点与热点,每年高考都会考查这一知识点,具有一定的难度与灵活性.从知识层面上看,一般考查导数在其他知识中的应用,突出导数的工具性,其中主要包括:(1)利用导数研究多项式函数、幂函数、分式函数、以e为底的对数和指数函数的性质及求参数等综合问题;(2)求最值,以实际问题中的最优
3、化问题形式呈现;(3)把导数与函数、方程、不等式、数列等结合综合考查.从题目的结构层次上看,常以解答题的形式呈现,第一问一般以抽象导函数值、抽象函数值、切线方程、极值为背景求函数的解析式,或给定参数的值求函数单调区间问题,较为简单;第二问均为和不等式相联系,考查由不等式恒成立求参数的取值范围或参数的最值问题、证明不等式等综合问题,常以压轴题出现,具有一定的难度.2.怎么办复习备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值与最值的关系,强化导数的工具性的作用,要认真研究导数与不等式、方程、数列、解析几何的联系,加强导数应用的广泛意识,注重数
4、学思想与方法的应用.核心整合1.利用导数求函数最值的几种情况(1)若连续函数f(x)在(a,b)内有唯一的极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的,{f(a),f(b)}min是函数f(x)在[a,b]上的;若函数f(x)在(a,b)内有唯一的极小值点x0,则f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的,{f(a),f(b)}max是函数f(x)在[a,b]上的.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则是函数f(x)在[a,b]上的最小值,是函数f(x)在[a,b]上的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减
5、,则是函数f(x)在[a,b]上的最大值,是函数f(x)在[a,b]上的最小值.(3)若函数f(x)在[a,b]上有极值点x1,x2,…xn(n∈N*,n≥2),则将f(x1),f(x2),…,f(xn)与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是函数f(x)在[a,b]上的,最小的一个是函数f(x)在[a,b]上的.最大值最小值最小值最大值f(a)f(b)f(a)f(b)最大值最小值2.不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min>0(x∈
6、I).(2)f(x)>g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈I).(3)对∀x1,x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.(4)对∀x1∈D1,∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min,f(x)定义域为D1,g(x)定义域为D2.3.证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.温馨提示在解决导数的综合问题
7、时,应注意:(1)树立定义域优先的原则;(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则;(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程;(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)≤m恒成立,则f(x)max≤m;若f(x)≥m恒成立,则f(x)min≥m.若f(x)≤m有解,则f(x)min≤m;若f(x)≥m有解,则f(x)max≥m.热点精讲热点一利用导数解决与函数有关的不等式恒成立问题(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1
8、)≤f′(x2)+a成立,求实数a的取值范围.方法技巧已知不等式f(x,λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立,求参数λ的取值范围.利用导数解决这个问题的常用思想方法如下:(1)分离参数法:第一步,将原不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实参数
