返璞归真，自然和谐.doc

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1、返璞归真自然和谐解几何题难，难在作辅助线．辅助线的类型总体上分为直线形和圆两种，而在平时数学教学中，对辅助线的“重直轻曲”现象一直存在.例如文〔１〕便出现了避直就迂的现象——舍弃较为简捷的作辅助圆的方法，大用特用较为繁琐的作直线形辅助线解题．文〔１〕还指出“构造圆是一种巧法，．．．．．．．应该选用其他较为简洁的通法”，笔者对此实在不敢苟同．其实，作辅助圆不是一种巧法，而是一种重要的通法求解的方式；对于同一问题，若同时能用直线形和圆两种不同的辅助线方法求解，往往用圆的求解方法更简洁、更自然．现从近年中考题中选取两例，对它们进行几种不同的方法

2、求解，让我们共同关注作辅助圆解题．例１（呼和浩特市中考）如图１，四边形ABCD中，DC∥AB,BC＝１,AB＝AC＝AD＝２，则BD的长为（　　）．A.　　B.　　C.３　　D.２解法一：作相等线段，构成直角三角形如图２，延长BA至E，使AE＝BA＝２，连结DE．∵AD＝AB＝AE＝BE，∴△DEB是直角三角形．∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，而CD∥AB，∴∠DAE＝∠ADC＝∠ACD＝∠CAB，等腰△ADE、△ABC的顶角相等．∴∠Ｅ＝∠CBA，又DE与BC不平行．∴四边形CDEB是等腰梯形，∴DE＝BC＝１．∴在Rt△BDE中，

3、BD＝＝．解法二：作垂线，构成矩形如图３，过点Ａ作AF⊥CD，垂足为Ｆ；再过点Ｃ、Ｄ分别作CE⊥AB于Ｅ，DG⊥BA的延长线于Ｇ．∵CD∥AB,　则四边形DGAF和四边形AFCE都是矩形．设AE＝x，在Rt△AFC中，AF2＝AC2－CF2=22－x2；在Rt△BCE中，CE2＝CB2－BE2=１2－（２－x）2，又AF＝CE；∴２2－x2＝１2－（２－x）2．解得x＝，把x＝代入CE2＝１2－（２－x）2得ＣＥ＝．又在△ACD中，AD＝AC，AF⊥CD，∴DF＝CF＝AE＝．又AG＝DF＝，∴GB＝GA＋AB＝＋２＝．在Rt△DGB中，

4、DB2＝DG2＋GB2＝（）2＋（）2＝１５，∴DB＝．解法三：截取相等线段，构成菱形如图４，在ＤＣ上取一点Ｅ，使DE=AB=2，连结EB、EA交DB于Ｆ．∵DE∥AB,且DE=AB，∴四边形DEBA是平行四边形．又AD=AB，∴四边形DEBA是菱形；∴BE＝AD＝AC＝２，而DC∥AB，∴四边形EABC是等腰梯形．∴EA＝BC＝１，由于菱形DEBA的对角线DB与EA互相垂直平分．∴DB=2DF，EF＝AE＝，在Rt△DEF中，DE=AB=2,EF＝．∴DF2＝DE2－EF2＝22－()2＝，∴DF＝，∴BD＝2DF＝．解法四：作辅助圆，

5、用圆的性质如图５，以Ａ为圆心，ＡＢ的长为半径作圆Ａ，延长ＢＡ交⊙Ａ于Ｅ，连结ＤＥ．∵BE是⊙Ａ的直径，∴∠EDB＝900．∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠DBE．∴　＝　，∴DE＝BC＝１．又BE＝２+２＝４；在Rt△DEＢ中，BD＝＝．点评：解法一根据已知条件AB=AD，把题设已有图形看成直角三角形的一部分，其中将BD看成直角边，AD当成斜边上的中线，这样用补形法作出相等线段构成直角三角形，再运用直角三角形、等腰三角形、等腰梯形的性质进行解答．解法二通过作垂线把BD看成直角三角形的斜边，再解决两直角边的长，这又运用矩形、等腰三角形的判定和性

6、质解题．解法三运用截长法在线段CD上截取DE=AB，使之出现菱形，再利用菱形、等腰梯形的性质解答．前三种方法都是作直线形辅助线，用直角三角形或矩形或菱形等直线几何图形的判定、性质解题，体现出较为繁琐的解题过程，虽为通法求解，但思维含量大，学生不易想到．解法四根据题目已知条件：三条线段相等，且它们有公共端点，学生容易联想到圆的集合定义，作出以有共同端点为圆心，以等线段长为半径的圆，再用圆的有关性质解题，显得格外自然而简捷，让人耳目一新．例２（黄石市中考调研试题）已知：如图６，在△ABC中，∠A＝600,　BD⊥AC于D,　CE⊥AB于E，求

7、证：DE＝BC．证法一：配中点，证全等分别取AB、AC的中点M、N，连MN（如图７）．∵∠ADB＝∠AEC＝900，∠A＝600，∴∠ABD＝∠ACE＝300∴AD＝AB＝AM，AE＝AC＝AN．又∠Ａ为公共角，∴△ADE≌△AMN(SAS)．则DE＝MN＝BC．证法二：利用两边对应成比例且夹角相等证相似（如图6）∵∠ADB＝∠AEC＝900，∠A＝600，∴AB＝2AD,　AC＝2AE∴＝，又∠Ａ为公共角∴△ADE∽△ABC∴＝＝∴DE＝BC证法三：证对顶三角形相似（如图8）设BD、CE相交于Ｆ∵∠ADB＝∠AEC＝900，∠A＝600

8、∴∠ABD＝∠ACE＝300∴BF＝2EF,　CF＝2DF∴＝＝２　又∠BFC＝∠EFD∴△BCF∽△EDF∴＝＝２∴DE＝BC证法四：作辅助圆（如图9）取BC的中点Ｆ，连DF、EF∵∠BDC