三角函数图象综合问题选解.doc

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1、三角函数图象综合问题选解关于三角函数的性质、最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性问题都与三角函数的图象有关，因此，迅速、熟练、准确地作出三角函数图象成为解题的关键步骤，所以说，三角函数的综合问题，实质上就是三角函数的图象问题．下面选解分析几例．例1如图为函数y==Asin(＋)的一个周期的图象．yxO2－2-53⑴写出y=的解析式；⑵写y=的解析式，使得与的图象关于直线x=2对称；⑶求作y=＋的图象．解：⑴由图知=5－3=2，所以周期T=8，=，A=2．∴y=2sin(x＋)，从图象可知，点(3，0)是五个关键点中的第三个关键点，∴×3＋=，∴=，∴

2、y=2sin(x＋)．yxO2--64-2-－28⑵设(x，y)是y=的图象上任一点，此点关于x=2的对称点为(4－x，y)在y=的图象上，即y=2sin[(4－x)＋]整理得：y=2sin(x－)．这就是所要求的y=的表达式．⑶y=＋=2sin(x＋)＋2sin(x－)．=2sinx．(图象如右图)．例2已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin(2t＋)，t[0，＋)．用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：⑴小球在开始振动(t=0)时，离开平衡位置的位移是多少？⑵小球上

3、升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？⑶经过多少时间，小球往返振动一次？解：作图的步骤如下：因为t=－=－=－，T===，所以t=t＋=－＋=，t=t＋=＋=，t=t＋=＋=，t=t＋=＋=．列表求值2t＋02t－4sin(2t＋)040－40描点连线，得s=4sin(2t＋)在一个周期内的简图．如图所示．ts4－4－由于t的实际意义是时间，即t≥0，所以，把区间[－，0]上的一段曲线用虚线画出．上图中用实线表示的部分，才是实践中s=4sin(2t＋)，在一个周期内的简图．问题的回答如下：⑴将t=0代入s=4sin(2t＋)，得s=

4、4sin=2≈3．46(cm)，即小球开始振动时的位移是2cm．并由图知这段位移是在平衡位置的上方．⑵由图知，小球上升到最高点、下降到最低点时，离开平衡位置的位移都是4cm．⑶由于这个函数的周期T==，所以小球往复振动一次所需要的时间为=3．14s．反映在图象上，正弦型曲线在每一个长度为的区间上，都要完整的重复变化一次．评析：在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦函数y=Asin(＋)来表示振动的位移y随时间x的变化规律．例3已知函数=＋＋1．⑴讨论函数的奇偶性；⑵判断函数的最小正周期，并(用反证法)证明你的结论；⑶求函数的单调区间；⑷作出函数在

5、[0，2]内的图象．解：=

6、sinx

7、＋

8、cosx

9、＋1，定义域为R．⑴∵=，∴为偶函数．⑵∵=

10、sin(x＋)

11、＋

12、cos(x＋)

13、=，∴T=．x1＋y2假设的最小正周期为T，且0＜T＜．，∴=，即

14、sin(x＋T)

15、＋

16、cos(x＋T)

17、=

18、sinx

19、＋

20、cosx

21、对xR恒成立令x=0，得

22、sinT

23、＋

24、cosT

25、=1．∵0＜T＜，∴sinT＋cosT=1(sinT＋cosT)=1sin2T=0与T(0，)矛盾，∴的最小正周期T=．⑶当x[0，]时，=sin(x＋)＋1，∴当x[0，]时，单调递增；当x[，]时，单调递减．故的递增区间是[，＋]，

26、而递减区间[＋，](kZ)；⑷图象如图所示．评析：从图象中可以直观地分析出函数的单调区间、最小正周期、奇偶性等结论，并可以对照验证前面的结论．例4方程sinx＋cosx=m在[0，]上有两个解，求实数m的取值范围．yxO－y=1解：方程可化为=sin(x＋)，根据此方程对应的图象可知，y=sin(x＋)，y=在同一坐标系中有两个不同的交点，满足≤＜1，即≤m＜2为所求．评析：对于简单的三角方程，可以通过三角函数图象把问题简化．