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1、§9.6正交变换、对称变换习题课例9.6.1设是n维欧氏空间V的一个单位向量.定义线性变换:称为一个镜面反射.证明:(1)是正交变换;(2)是第二类的;(3)习题课证(1)任取故为正交变换.习题课(2)将扩充为V的标准正交基由的定义从而即为第二类的.故在基下的矩阵习题课(3)注:根据线性变换与矩阵的关系,由(2)也可证习题课例9.6.2设是n维欧氏空间V的第二类正交变换.则存在镜面反射及第一类正交变换使分析:由知有特征值对应的单位特征向量设为即将扩充为标准正交基:设在该基下的矩阵为.则为正交矩阵且由矩阵与线性变换的关系,拆分即将习题课分成与一行列式为1的正交矩阵的积.设由B,均为正交矩阵,C必
2、为正交阵.且.C对应的线性变换即为要求的.习题课证:由知有特征值对应的单位特征向量设为即将扩充为V的标准正交基:设则为正交矩阵且则习题课定义则为镜面反射.则为第一类的.故命题成立.习题课作业1:设是n维欧氏空间V的线性变换,若对任意都有称为反对称变换.证明:矩阵为反对称矩阵.(1)为反对称变换当且仅当在标准正交基下的(2)若M为子空间，则也为子空间.(3)的特征值为或纯虚数.习题课(4)存在V的标准正交基使在该基下的矩阵为是非零实数.习题课例9.6.3设V为n维欧氏空间,若为V的线性变换,则为正交变换当且仅当保持向量间的距离不变.证:故故为正交变换.习题课例9.6.4给定的标准度量,求出中所有
3、保持下列正方形(A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1))整体不变(即正方形四条边上的点经过变换后仍落在四条边上)的正交变换.ABCD习题课分析:根据题意,求这样的正交变换,即将标准正交基(在正方形上)变为仍在正方形上的标准正交基即可.只可能为解:由的标准正交基在正方形上,经正交变换后仍在正方形上,且为标准正交基,习题课故所求正交变换为:习题课例9.6.5设A是n阶实对称矩阵.证明:A正定的充分必要条件为A的特征多项式的根全大于0.分析:由A为实对称阵,我们可以找到正交阵T使为对角阵,这样A的特征值就全暴露出来了.证:由A为实对称阵,存在正交阵T使由A正定,正定,故由,正
4、定,故A正定.习题课例9.6.6设A、B均为同阶实对称阵,A正定,则存在可逆阵P使为对交阵.证:A由正定,存在可逆阵Q使.对有正交阵T使为对角阵.取即可.分析:因为A正定,我们可先将A合同于E,又正交阵T具有性质.这样变化后的A将不再改变.习题课作业2:已知二次曲面通过正交变换化为二次曲面求k值及正交阵P.作业3:对于阶数分别为n,m的实对称阵A与B,假设B是正定矩阵.试证明:存在非零矩阵H使得成为正定矩阵.(提示应用例9.6.6的结果)习题课例9.6.7实二次型经正交线性替换化为标准形(1)求a,b及正交阵P；(2)问二次型f是否正定?为什么？分析：由于实二次型的矩阵是实对称阵.由标准形可知
5、矩阵的特征值,从而可求a,b,而P为特征值的特征向量组成的.习题课解:(1)二次型的矩阵的特征多项式由f的标准形为知,A的特征值为将1,0代入得解得b=1,a=3.习题课分别解得单位特征向量故(2)由标准形知f的秩为2,故不正定.习题课例9.6.8欧氏空间V的对称变换称为正定的,若满足对任意的证明:正定在标准正交基下的矩阵为正定阵.证:设为V的标准正交基,在该基下的矩阵为对称阵A.对任意的令则故,即A正定.习题课任取,设,则故,即为正定的.例9.6.9设V为n维欧氏空间.证明:对V中给定的向量,V上的函数连续.证:设为V的标准正交基,设习题课则,当时,即连续.例9.6.10(1)A为n阶实矩阵
6、.证明存在正交阵T使得为上三角当且仅当A的特征值全为实数.(2)A为正交阵,特征值全为实数.则A为对角阵.习题课证:对n归纳.n=1时显然成立,设为n–1时成立.则为n时,设为A的特征值,为相应的特征向量.将单位化并扩充为标准正交基,令则为正交阵且这里为n-1阶实矩阵.特征值全为实数.由假设,存在正交阵Q使得为上三角,令,则T为正交阵且为上三角.习题课(2)A的特征值全为1,–1.由(1),存在正交阵T使得对角线上前s个为1,后s个为–1,令,由这里为1或–1,和,可算出故为对角阵,从而A为对角阵.习题课例9.6.11特征向量(1,1,1).构造一个3阶实对称阵A,使其特征值为2,1,1.且有
7、分析:注意对称矩阵的不同特征值的特征向量正交.解:设正交阵T使得即将(1,1,1)扩充为正交基(1,1,1),(0,1,–1),(2,–1,–1)并单位化得,令A满足要求.习题课
