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1、数学通报年第期..,考察曲线的奇点及其类型微积分学教程(第一卷)高教出版社1957再适当选择一些点,然后描点作图...贺建勋等常微分方程,湖南科技出版社,1983参考文献正交变换与对称变换蒲义书(汉中师范学院数学系723001)正交变换与对称变换,是欧氏空间中两类重(5产]a是正交变换a(o)=0且a是要的线性变换,具有广泛的应用.本目的,是一;加保距离变换,想从教学的角度将散见于文献中关于这两类变(0)’I]。是正交变换城一动二一可动,.一换的特征及其有关的问题作以汇总和系统化且。是保距离变换.,文中对部分结果进行了改进和推广这其中也包注:.,括笔者个人的部分工作为了节省篇幅凡在文,
2、,(l)定理l说明在欧氏空间中保内积变,.献中已有证明的定理一律略去其证明过程文换不仅是保长的而且是线性的.因而,保内积是,,·中的记号除特殊声明外均与【lj相同正交变换的关键要求,在其余的几种等价性质的,1设V是一欧氏空间J:V斗V是,.定义.证明中都是将其对应的条件转化为保内积-v中的变换,(2)欧氏空间中的保长变换不一定是正任,。二。.(l)若成V,!(幼1}创则称是保长变交变换,,即由保长一般推不出线性性例如在;换“,x,,,,二。R中对石二(x2…)规定。(钓二,,,(2)若火刀任V,(石并o,并0)具有xl,xZ,,xo,。,。,。,(!l}I二}l)显然是保长的但不是线(
3、(若)(刀))(石刀>.,称a为保角变换;性的即使。是保长的双射也推不出。的线性}。(石川a(1){}石卜},!.,,,,性(3)若成,任V,(。(石)。(,))=(石刀)则称,。是保内积变换;(3)欧氏空间中的保距离变换如果不附加,,一,,,别的条件例如试0)=o二一也是(4)若成写任V,!。(石)一a(刀)!二石I一叮l则a(劫以动。.,。0,任V称a;推不出的线性性的例如若并则戎是保距离变换,,,,规定城动=石十a则显然。是保距离的但不(5)若成,任V,。{(()+。(叮)}=石1+刀1则.称。是保平行;是线性的四边形长变换,,4(6)若。是保长的线性变换则称。是正交()欧氏空间
4、中的保角变换不一定是正交变,.,,变换.换甚至加上线性也不一定例如若k异士1k劣,,,,,0则成〔V规定。二k石由。是保角的但定理1设V是一欧氏空间。是V中的(幼.,:叮不是保长的变换则,(l)[la是正交变换。是保内积的线(5)在正交变换的定义中既要求。是线性一,。.性变换;的又要求对任意石均是保长的虽然空间中,(2)12]。是正交变换a是保内积的变的任意向量均可由某一基线性表示但如果。仅一,。.换;对该基保长并不一定能推出是正交变换,(3)同。是正交变换。是保平行四边定理2z[]欧氏空间中的正交变换具有以下;一:形长变换简单性质阁。是正交变换a是保长且保角;’()一(l)两个正交变
5、换的积仍然是正交变换变换;2;()正交变换是单射199年第65期数学通报3士1.两个线性变换,且对。,()正交变换的特征值等于V中任意向量均有.,,,注:。,。。l。=。2a。2a两正交变换的和不一定是正交变换(()())(()())则V中存在一,·,。二定义设2是一V欧氏空间。〔矶a笋0,正交变换使得勿在丙,2。任V,一(石),定理7若r是欧氏空间V中正交变换a则咋规定城动=(,则称。为镜。。,*.()。。*二,。二.的共扼变换则I(I是单位变换)面反射,3。,定义设V是有限维欧氏空间是V定理all]设v是一欧氏空间a是一镜面,,,,中的正交变换A是,在某标准基下的矩阵则反射则。一定
6、是正交变换且尹=I(I是单位,二士A=1。变换).}川;l当}}时称为第一类正交变换,当}川=一1时,称。为第二类正交变换.,定理4l[]若v是有限维欧氏空间J是V.,注:,显然正交变换的上述分类中与标准正中的变换则:交基的选择是无关的._。是正交变换专=令。将标准正交基仍(l).;定理8镜面反射为第二类正交变换然变为标准正交基,定理1中的(3V中的变换,符合2a是正交变换令井。在任何一标准正)说明(),,,,条件(a(幻=则。一定是线性的交基下;可功)(若功的矩阵是正交矩阵:,,此定理可以推广为下述的定理(3)若,是正交变换则。一定可逆且其,逆也是正交变换;定理9设f(石的是数域F上
7、向量空间V,,a,`的一对称双线性函数符合条件f“韵=0幸二争’()若是正交变换的不变子空间w,,,的正交补W上也是。的不变子空间.若=0。是V中的变换则当成,`V均有,二,,a·:,f(a(句以哟)f(石哟时一定是线性变换注(l)在无限维欧氏空间中正交变换.,,证明可仿圆之938题的证明不一定是满射从而不一定是双射也就不一定有逆.例如,实数域上全体多项式作成的欧氏空定义4设a是欧氏空间V的一个线性变,,,,,间x,x=换如果对于V石刀任V,(
