应用题中隐含的不等量关系的挖掘

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1、应用题中隐含的不等量关系的挖掘初中数学实际应用题就其反映的生活背景而言可谓千姿百态，而运用数学建模思想将其抽象成纯数学问题，不外乎是方程、不等式（组）、函数、统计、几何知识的应用。如何挖掘实际应用题中隐含的不等量关系，进而用不等式（组）解决问题，这是个值得探讨的课题，现举例说明如下：1、从生活经验挖掘不等量关系例1，某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套。已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布

2、料0.2米，可获利30元。设生产L型号的童装x套，用这批布料生产这两种型号的童装所获的利润为y（元）。（1）写出y（元）关于x（套）的函数解析式，并求自变量x的取值范围；（2）该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大？最大利润为多少？分析：解决本题的关键是求自变量x的取值范围，而求自变量取值范围得由不等式组来解决。题中并无明显的不等量关系，必须从生活经验来挖掘隐含的不等量关系，（许多学生由于缺少生活经验常把童装成衣所占用的布料等于原料，列成方程）。事实上由于在裁剪中有边角料去除，故童装成衣所占用的

3、布料只能小于至多等于原料，同时还得考虑童装套数是正整数。因此我们可得不等式组如下：解得17.5≤x≤20，又因为x是正整数，故x的取值范围是18，19，20。解决了这一难点下面的问题仅是一次函数性质的简单应用，这里就不再赘述。这类题型存在着广阔的生活背景，如用化工原料生产化学成品，成品所用的料应不大于原料；用火车运送货物，火车能装载的吨数（容积）必须不小于货物的吨数（占的空间），汽车客座数必须大于或等于旅客数；公司各部门用人数必须是自然数，这些都隐含着不等量关系。2、从题解的分支中探求不等量关系例2，一个批发与零售兼营的文具店

4、规定凡一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买铅笔300支以下（包括300支）只能按零售价付款。现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买1支，对只能按零售价付款，需用（m2－1）元（m为正整数，且m2－1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样要（m2－1）元。1，设这个学校初三年级共有x名学生，则（1）x的取值范围应为_______；（2）铅笔零售价每支应为_______元，批发价每支应为______元（用含x，m的代数式表示）。2，若按批发价每买15支比按零售价每买15支少付

5、款1元，试求这个学校初三年级共有多少名学生，并确定m的值。分析：确定m的值仅凭m为正整数且m2－1>100，不能求出定值m，还必须从题解分支中去寻找隐含的关于m的不等量关系，才能求得定值m。观察发现题中求x的取值范围既是解答的一个分支，又为求m的值这一问题作了铺垫。当我们由“每买15支笔批发价比零售价少1元”列出关于x的分式方程后，便可解得x1=30（m－1），x2=－30(m+1)(舍去)，由题解中x的取值范围240

6、。这类题型的特点是题解各分支之间环环紧扣，前面的分支解答既是过程也是后续解答的铺垫，若学生不能注意其中的隐含关系，便不能顺利解答。3、从定值与不定值的关系中寻找不等量关系例3，根据国家规定，月薪收入超过800元的在职工作人员，每月都要按下表规定的税率向国家交纳个人所得税。级数应纳税所得额（月收入－800元）税率速算扣除数1不超过500元的5%0元2超过500元至2000元部分10%25元3超过2000元至5000元部分15%125元…………应交税额=应纳税所得额×适用税率－速算扣除数。（1）设某人的月薪收入为t元，每月应交个人

7、所得税为S元，试根据下列各小题括号内指定的范围写出S和t间的函数关系式。①S=__________________________(800＜t≤1300)；②S=__________________________(1300＜t≤2800)；③S=___________________________(2800＜t≤5800）。（2）王辉同学的爸爸的月薪是妈妈的2倍多，但不到3倍，两人每月收入5220元，共交个人所得税352元。问：他爸爸、妈妈的月薪收入各是多少元？分析：求王辉父、母月薪收入关键是要判断二人的“应交税额”在哪一

8、段，若设王辉母亲的月薪是t元，则可列出不等式组：由此解得1305＜t＜1740，王辉母亲纳税应按第二段执行，求王辉父亲的月薪范围要从题中寻找隐含的不等量关系，从题中发现两人工资总和是定值，只要减去他母亲的月薪范围可得，3480＜t＜3915，则他父亲的纳税应按第三段执行。以下