数列、函数极限.ppt

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1、§1.2数集·确界原理一、区间与邻域二、上确界、下确界1河西学院院数学系二有界集·确界原理1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界例1证明集合是无界数集.证明：由无界集定义，E为无界集.2确界:直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界，同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界，MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界确界的精确定义3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.

2、以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系:设E为数集.⑴E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.⑶若存在,必有对下确界有类似的结论.§2.1数列极限的概念§2.2收敛数列的性质§2.3数列极限存在的条件数列极限的精确定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式

3、xna

4、

5、没有极限0,NN当nN时有

6、xna

7、.极限定义的简记形式几何解释:注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用

8、xn－a

9、＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式

10、xn－a

11、＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来

12、实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式

13、xn－a

14、＜ε（n＞N）③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由

15、xn－a

16、＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式

17、xn－a

18、＜ε成

19、立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示

20、xn－a

21、＜εn＞N④定义中的不等式

22、xn－a

23、＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些点在条形域外面！●●

24、●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：分析:例1证明0,NN当nN时有

25、xna

26、.利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式

27、xn－a

28、＜ε不易考虑，往往采用把

29、xn－a

30、放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明证明则当n＞N时，有例4.证明K为正实数证：由于所以对任意ε＞0，取N

31、=当n＞N时,便有：知识点回顾习题解答函数极限习题课