高一二次函数与一元二次方程不等式.docx

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1、专题05二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一　一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二　一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4a

2、cΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x

3、xx2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x

4、x10；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解　(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0

5、，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x

6、20，所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x1＝－2，x2＝.由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为.(3)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R.变式　解下列不等式：(1)4x2－4x＋1>0；(2)－x2＋6x－10>0.解

7、　(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2　已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x

8、－30的解集为{x

9、－3

10、2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，所以解得所以y＝－3x2－3x＋18.(2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.变式已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.(1)求a，c的值；(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.解　(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1.

11、(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.解　(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x

12、x>2}．(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.①当a<－时，解不等式得－

13、解不等式得20时，解不等式得x<－或x>2，即原不等式的解集为.变式　(1)当a＝时，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集；(2)若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．解　(1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.(2)x2－x＋1≤0⇔(x－a)≤0，①当01时，a>，不等式的解集为.综上，当0

14、为{1}；当a>1时，不等式的解集为.考点1：练习题1．已知集合M＝{x

15、－4

16、x2－x－6<0}，则M∩N等于(　　)A．{x

17、－4

18、－4

19、－2