2017-2018学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.docx

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2017-2018学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷　一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（　　）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=22．（2分）在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（　　）A．13B．22C．223D．33．（2分）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB=4，AD=2，DE=1.5，则BC的长为（　　）A．1B．2C．3D．44．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　）第32页（共32页） A．OBCD=32B．αβ=32C．S1S2=32D．C1C2=326．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（　　）A．点MB．点NC．点PD．点Q7．（2分）如图，反比例函数y=kx的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是（　　）A．x＜0或x＞4B．0＜x＜4C．x＜4D．x＞48．（2分）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（　　）第32页（共32页） A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径　二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣2x=0的根是　　．10．（2分）已知∠A为锐角，且tanA=3，则∠A的大小为　　．11．（2分）若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是　　．（写出一个即可）12．（2分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为　　．第32页（共32页） 13．（2分）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为　　．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=3，则AB的长为　　．15．（2分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为　　．16．（2分）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是　　．第32页（共32页） 　三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2sin30°﹣2cos45°+8．18．（5分）已知x=1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2=0的一个根，求m（2m+1）的值．19．（5分）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=32，AC=5，sinC=35，求BC的长．20．（5分）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．（1）直接写出v关于t的函数表达式：v=　　；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．（5分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC为边作△ACE，∠ACE=90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD=5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．第32页（共32页） 22．（5分）古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B=∠AC'C=∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，ABB′B=()AB，ACC′C=()AC，进而可得AB2+AC2=　　；（用BB'，CC'，BC表示）若AB=4，AC=3，BC=6，则B'C'=　　．23．（6分）如图，函数y=kx（x＜0）与y=ax+b的图象交于点A（﹣1，n）和点B（﹣2，1）．（1）求k，a，b的值；（2）直线y=mx与y=kx（x＜0）的图象交于点P，与y=﹣x+1的图象交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围．第32页（共32页） 24．（6分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长．25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB=2cm，设BD为xcm，BD'为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.71.01.52.02.3y/cm1.71.31.1　　0.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为　　cm；第32页（共32页） 若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是　　．26．（6分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是x=　　；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；（3）若该二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．27．（7分）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤PAQA≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标　　；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足tan∠BAO=12，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线y=3x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是　　．28．（7分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB=2QA”是否正确：　　（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB=2PA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP=30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC=α，∠第32页（共32页） BPC=β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．　第32页（共32页） 2017-2018学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（　　）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=2【解答】解：∵抛物线的顶点式为y=（x﹣1）2+2，∴对称轴是x=1．故选：B．2．（2分）在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（　　）A．13B．22C．223D．3【解答】解：∵∠C=90°，AB=3，BC=1，∴sinA=13，故选：A．3．（2分）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB=4，AD=2，DE=1.5，则BC的长为（　　）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵DE∥BC，AB=4，AD=2，DE=1.5，∴ADAB=DEBC，即24=1.5BC，解得：BC=3，故选：C．第32页（共32页） 4．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB=AD，∠BAD=100°，∴∠B=∠ADB=12×（180°﹣100°）=40°．故选：B．5．（2分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　）A．OBCD=32B．αβ=32C．S1S2=32D．C1C2=32【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，∴OBOD=32，A错误；∴S1S2=94，C错误；∴C1C2=32，D正确；不能得出αβ=32，B错误；故选：D．6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（　　）第32页（共32页） A．点MB．点NC．点PD．点Q【解答】解：由图形可得：OA=32+42=5，OM=32+42=5，ON=32+42=5，OP=42+22=25≠5，OQ=5，所以点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过P点，故选：C．7．（2分）如图，反比例函数y=kx的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是（　　）A．x＜0或x＞4B．0＜x＜4C．x＜4D．x＞4【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A（4，1），∴当y＜1时，x＜0或x＞4．故选：A．8．（2分）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（　　）第32页（共32页） A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径【解答】解：A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t=9.682=4.84，故本选项正确；故选：D．　二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣2x=0的根是　x1=0，x2=2　．【解答】解：因式分解得x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．10．（2分）已知∠A为锐角，且tanA=3，则∠A的大小为　60°　．第32页（共32页） 【解答】解：∠A为锐角，且tanA=3，则∠A=60°，故答案为：60°．11．（2分）若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是　y=1x（答案不唯一）．　．（写出一个即可）【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y=1x，答案不唯一．故答案为：y=1x（答案不唯一）．12．（2分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为　（﹣2，0）　．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4=﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．13．（2分）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为　6　．【解答】解：扇形的面积=60πr2360=6π．解得：r=6，故答案为：614．（2分）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=3，则AB的长为　2　．第32页（共32页） 【解答】解：∵PA、PB是⊙D的切线，∴PA=PC，∵∠P=60°，∴△PAC是等边三角形，∴AC=PA=3，∠PAC=60°，∵PA是切线，AB是直径，∴PA⊥AB，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∴AB=ACcos30°=2，故答案为215．（2分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为　10　．【解答】解：如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，第32页（共32页） ∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴CDAB=EDEB，∴0.83.2=xx+30，解得x=10，故答案为1016．（2分）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是　三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．　．【解答】解：如图，连接OD、OC，第32页（共32页） 由作图知，OB=OC=CD，∴△OCD为等边三角形，则∠COD=60°，∴∠DAC=12∠COD=30°，综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．　三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2sin30°﹣2cos45°+8．【解答】解：原式=2×12﹣2×22=1﹣2+22=1+2．18．（5分）已知x=1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2=0的一个根，求m（2m+1）的值．【解答】解：∵x=1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2=0的一个根，∴1﹣m﹣2m2=0．∴2m2+m=1．∴m（2m+1）=2m2+m=1．19．（5分）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=32，AC=5，sinC=35，求BC的长．第32页（共32页） 【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，sinC=35，∴AD=AC•sinC=3．∴在Rt△ACD中，CD=AC2-AD2=4．∵AB=32，∴在Rt△ABD中，BD=AB2-AD2=3．∴BC=BD+CD=7．20．（5分）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．（1）直接写出v关于t的函数表达式：v=　240t　；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？【解答】解：（1）由题意可得，v关于t的函数表达式：v=30×8t=240t，故答案为：240t；（2）由题意可得，当t=5时，v=2405=48，第32页（共32页） 答：平均每天要卸载48吨．21．（5分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC为边作△ACE，∠ACE=90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD=5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．【解答】证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴AC=22+42=25，∵CE=AC，∴CE=25，∵CD=5，∵ABCE=425=255，ACCD=255，∴ABCE=ACCD，∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°．∴∠BAC=∠DCE．∴△ABC∽△CED．22．（5分）古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B=∠AC'C=∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，ABB′B=()AB，ACC′C=()AC，进而可得AB2+AC2=　BC（BB′+C′C）　第32页（共32页） ；（用BB'，CC'，BC表示）若AB=4，AC=3，BC=6，则B'C'=　116　．【解答】解：∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC∴ABB′B=BCAB，ACC′C=BCAC，∴AB2=BC•B′B，AC2=BC•C′C，∴AB2+AC2=BC•B′B+BC•C′C=BC（BB′+C′C）；∵AB=4，AC=3，BC=6，∴42+32=6（BB′+C′C），即6（BC﹣B′C′）=25，∴6﹣B′C′=256，∴B′C′=116．故答案为BC（BB'+CC'）；116．23．（6分）如图，函数y=kx（x＜0）与y=ax+b的图象交于点A（﹣1，n）和点B（﹣2，1）．（1）求k，a，b的值；（2）直线y=mx与y=kx（x＜0）的图象交于点P，与y=﹣x+1的图象交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围．第32页（共32页） 【解答】解：（1）∵函数y=kx（x＜0）的图象经过点B（﹣2，1），∴k-2=1，得k=﹣2．∵函数y=kx（x＜0）的图象还经过点A（﹣1，n），∴n=-2-1=2，点A的坐标为（﹣1，2），∵函数y=ax+b的图象经过点A和点B，∴-a+b=2-2a+b=1解得a=1b=3，∴k=﹣2，a=1，b=3．（2）如图直线y=﹣x+1经过点A，直线y=﹣x+1与直线AB垂直，当直线经过点B时，m=﹣12，当直线经过点A时，m=﹣2，观察图象可知当m＜﹣2或﹣12＜m＜0时，∠PAQ＞90°，当m=﹣1时，直线y=mx与直线y=﹣x+1平行，观察图象可知m＜﹣1且m≠﹣2时，∠PAQ″＞90°，综上所述，满足条件的m的值为﹣12＜m＜0或m＜﹣1且m≠﹣2．第32页（共32页） 24．（6分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE．∴∠CBD=∠BDE．∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，第32页（共32页） ∴∠BAD=∠BCD=90°．∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD=AD=4，AB=BC．∵DE=5，∴CE=DE2-DC2=3，EF=DE=5．∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5．∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．∴AB=8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴ABME=BFEF．∴ME=4．∴DM=DE﹣EM=1．25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB=2cm，设BD为xcm，BD'为ycm．第32页（共32页） 小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.71.01.52.02.3y/cm1.71.31.1　0.9　0.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为　0.7　cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是　0≤x≤0.9　．【解答】解：（1）如图1，在AC上取一点E使AE=AB=2，由旋转知，AD=AD'，∠DAD'=50°=∠BAC，∴∠DAE=∠D'AB，在△DAE和△D'AB中，AE=AB∠DAE=∠D′ABAD=AD′，∴△DAE≌△D'AB（SAS），∴DE=BD'=y，第32页（共32页） 在Rt△ABC中，AB=2，∠C=40°，∴∠BAC=50°，AC=ABsinC=2sin40°≈20.64=3.13，BC=ABtanC=2tan40°≈20.84≈2.40∴CE=AC﹣AE=3.13﹣2=1.13，过点E作EF⊥BC于F，在Rt△CEF中，EF=CE•sinC=1.13×sin40°≈0.72，CF=CE•cosC=1.13×cos40°≈1.13×0.78≈0.88，当x=1时，BD=1，∴DF=BC﹣BD﹣CF=2.40﹣1﹣0.88=0.52，在Rt△DEF中，根据勾股定理得，y=DE=EF2+DF2≈0.9，故答案为：0.9．（2）函数图象如图2所示．（3）方法1、由图象和表格知，线段BD'的长度的最小值约为0.7cm，∵BD'≥BD，∴y≥x，由图象知，0≤x≤0.9，故答案为：0.7，0≤x≤0.9．（3）方法2、由（1）知，BC=2.4，CF=0.88，EF=0.72，DF=BC﹣BD﹣CF=2.40﹣x﹣0.88=1.52﹣x，第32页（共32页） 根据勾股定理得，y=DF2+EF2=(1.52-x)2+0.722，∵0≤x≤2.40，∴x=1.52时，y最小=0.72≈0.7，当BD'=BD时，DE=y=x在Rt△DEF中，根据勾股定理得，DE2=DF2+EF2，∴x2=（1.52﹣x）2+（0，72）2，∴x≈0.9∴BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．故答案为：0.7，0≤x≤0.9．26．（6分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是x=　2　；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；（3）若该二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．【解答】解：（1）对称轴x=﹣-4a2a=2．故答案为2．（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．∴4a﹣8a+3a=2．∴a=﹣2，y=﹣2x2+8x﹣6，∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，第32页（共32页） ∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6．（3）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，∴t+1≤5，∴t≤4，∴t的最大值为4．27．（7分）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤PAQA≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标　（2，0）　；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足tan∠BAO=12，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线y=3x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是　-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3　．【解答】解：（1）（2，0）（答案不唯一）．（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得tan∠OAM=12，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得M'N'，则由题意，线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B．第32页（共32页） 作MH⊥x轴于H，连接MC，∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°．∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°．∴∠OAM=∠HMC．∴tan∠HMC=tan∠OAM=12．∴MHHA=HCMH=12．设MH=y，则AH=2y，CH=12y，∴AC=AH+CH=52y=2，解得y=45，即点M的纵坐标为45．又由AN=2AM，A为（﹣1，0），可得点N的纵坐标为85，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：45≤t≤85，由对称性，在线段M'N'上，点B的纵坐标t满足：-85≤t≤-45，∴点B的纵坐标t的取值范围是-85≤t≤-45或45≤t≤85．（3）如图，第32页（共32页） Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，易知点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在Rt△KMR中，易知∠KRM=90°，∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=﹣4﹣3，当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b=﹣1，观察图象可知：当﹣4﹣3≤b≤﹣1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4﹣3时，也满足条件．故答案为-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．28．（7分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB=2QA”是否正确：第32页（共32页） 　否　（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB=2PA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP=30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC=α，∠BPC=β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）否．理由：如图1中，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠ABD=∠DBC=∠BCE=∠ACE=22.5°，∴∠ADB=∠DBC+∠ACB=67.5°，∵∠QAD=45°，∴∠AQD=∠ADQ=67.5°，∴AD=AQ，同法可证AQ=AE，连接DE，易证DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=∠DBE，∴DE=BE，∵DE=2AD=2AQ，∴BE=2AQ，∵∠BEQ＞∠BQE，∴BQ＞BE，∴BQ＞2AQ．故答案为否．第32页（共32页） （2）①作PD⊥AB于D，则∠PDB=∠PDA=90°，∵∠ABP=30°，∴PD=12BP．∵PB=2PA，∴PD=22PA．∴sin∠PAB=PDPA=22．由∠PAB是锐角，得∠PAB=45°．另证：作点P关于直线AB的对称点P'，连接BP'，P'A，PP'，则∠P'BA=∠PBA，∠P'AB=∠PAB，BP'=BP，AP'=AP．∵∠ABP=30°，∴∠P'BP=60°．∴△P'BP是等边三角形．∴P'P=BP．∵PB=2PA，∴P′P=2PA．∴P'P2=PA2+P'A2∴∠PAP'=90°．∴∠PAB=45°．②结论：α+β=45°，证明如下：作AD⊥AP，并取AD=AP，连接DC，DP．第32页（共32页） ∴∠DAP=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP，即∠BAP=∠CAD，∵AB=AC，AD=AP，∴△BAP≌△CAD，∴∠1=∠2，PB=CD，∵∠DAP=90°，AD=AP，∴PD=2PA，∠ADP=∠APD=45°，∵PB=2PA，∴PD=PB=CD，∴∠DCP=∠DPC，∵∠APC=α，∠BPC=β，∴∠DPC=α+45°，∠1=∠2=α﹣β．∴∠3=180°﹣2∠DPC=90°﹣2α，∴∠ADP=∠1+∠3=90°﹣α﹣β=45°，∴α+β=45°．　第32页（共32页）