高考数学高三二轮难点06 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题 教学案【原卷版】.docx

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1、难点6立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．1　立体几何中的折叠问题折叠问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能

2、力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.例１（2021•肇庆二模）如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD＝．（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角

3、Q﹣BDC的余弦值为时，求此时三棱锥Q﹣BCD的体积．点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.4/4以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在．在求二面角时，如果根据定义要作出二面角的平面角，并证明，

4、然后计算，要求较高，一般是寻找图形中的两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，用空间向量法来求这个角．设分别是平面的法向量，设二面角的大小为，则．用这种方法求解时要注意判断二面角的大小，即判断二面角是锐角不是钝角．2　立体几何中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可

5、将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径．例2（2021•厦门一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，∠ACB＝30°．（1）证明：PA⊥平面ABCD．（2）当直线PC与平面PBD所成的角最大时，求二面角P﹣BD﹣C的余弦值．点评：立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系

6、，建立目标函数，4/4利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等．3　立体几何中的探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何

7、问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．例3．（2020秋•未央区校级期末）如图1，在△MBC中，BM＝2BC＝4，BM⊥BC，A，D别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使∠PAB＝90°，如图2，连结PB，PC．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）线段PC上是否存在一点E，使二面角E﹣AD﹣P的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．点评：本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面平行的判断定理