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1、数缺形时少直观形缺数时难入微——华罗庚数形结合思想思想方法概述热点分类突破真题与押题数形结合的对应数形坐标点函数图象方程曲线思想方法概述1.数形结合的数学思想：“以形助数”借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；“以数辅形”借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则.(2)双方性原则.(3)简单性原则.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)求参数.(2)研
2、究方程根.(3)研究量与量之间的大小关系.(4)最值问题和证明不等式.(5)构建立体几何模型研究代数问题.(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(7)构建方程模型，求根的个数.(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.4.数形结合思想应注意以下几点：(1)准确画出图象，注意函数的定义域.(2)小题能形不数，大题数主形辅热点一利用数形结合思想讨论方程的根热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围热点三利用数形结合思想解最值问题热点分类突破热点一利用数形结合思想讨论方程的根解析先作出函数f(x)＝
3、x－2
4、＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时
5、斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1).答案B用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.思维升华变式训练1解析由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝作出函数y＝f(x)及y＝x的函数图象如图所示，由图可得交点有3个.答案C例2(1)已知奇函数
6、f(x)的定义域是{x
7、x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)<0的x的取值范围是____________.热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1).解析作出符合条件的一个函数图象草图即可，(－1,0)∪(0,1)(2)若不等式
8、x－2a
9、≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________.解析作出y＝
10、x－2a
11、和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个
12、)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.思维升华变式训练2(1)设A＝{(x，y)
13、x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)
14、x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是_______.解析集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，例3(1)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A
15、、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.热点三利用数形结合思想解最值问题解析从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，解析画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为
16、QA
17、2＝16.∴取值范围是[2,16].答案B(1)在几何
18、的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值.(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解.思维升华变式训练3(1)(2013·重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则
19、PQ
20、的最小值为()A.6B.4C.3D.2解析由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，
21、PQ
22、的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径长，所以
23、PQ
24、min＝3－(
