资源描述：
《椭圆常结论及其结论(完全版).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于x2y21，左准线l1:xa2；右准线l2:xa2a2b2cc对于y2x21，下准线l1:ya2；上准线l2:ya2a2b2cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离a2a2c2b2pc（焦参数）cccPyB2A1xA2F1OF2B1二、焦半径圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线
2、焦半径。椭圆的焦半径公式：焦点在x轴（左焦半径）r1aex0,（右焦半径）r2aex0,其中e是离心率焦点在y轴MF1aey0,MF2aey0其中F1,F2分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加PF1ac,PF2ac推导：以焦点在x轴为例如上图，设椭圆上一点Px0,y0，在y轴左边.PF1e，根据椭圆第二定义，PM则PF1ePMex0c2ex0a2cx0a2aex0ccac同理可得PF2aex0三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴为例，弦ABb2b2
3、坐标：Ac,，Bc,aa弦AB长度：AB2b2a四、若P是椭圆：x2y21上的点.F1,F2为焦点，若F1PF2，则PF1F2的面积为a2b2b2tan.2推导：如图SPFF1PF1PF2sin122根据余弦定理，得222cosPFPFF1F2=2PF1PF2=PF1PF)22PF1PF24c22PF1PF2=4a22PF1PF24c22PF1PF2=4b22PF1PF22PF1PF22b2得PF1PF21cosSPF1F21PF1PF2sin=112b2sin=b2sin=b2tan22cos1cos2yPB2xA1A2F1OF2B1五、弦长公式直线与圆锥
4、曲线相交所得的弦长直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则它的弦长AB1k2x1x2(1k2)(x1x2)24x1x2112y1y2k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为y1y2k(x1x2)，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则ABy1y2.六、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：设M(x0,y0)为椭圆x2y21弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：a2b2kABkOMb2a2证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有yx12y121
5、Ay1y2a2b2MkAB，两式相减得：x1x2x22y221F1F2Bxa2b2Ox12x22y12y220整理得：a2b2y12y22b2x12x22，即a2(y1y2)(y1y2)b2(x1x2)(x1x2)，因为M(x0,y0)是弦AB的中点，所以a2kOMy02x0y1y2，所以kABb2kOM2x02y0x1x2a(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆x2y21中，以M(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－b2x0；a2b2a2y0由（1）得kABb2kOM2akABb21b2x0a2kOMa2y0七、椭圆的参数方程x
6、acos(为参数)ybsin八、共离心率的椭圆系的方程：椭圆x2y21(ab0)的离心率是ec(ca2b2)，方程x2y2t(t是大于0的参a2b2aa2b2数，ab0的离心率也是ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.a例1、已知椭圆x2y21上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____251622例2、如果椭圆xy1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是369例3、已知直线yx1与椭圆x2y21(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：xa2b22y0上，则此椭圆的离心率为_______例4、F是椭圆x2y21的
7、右焦点，A1,1为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。43（1）PAPF的最小值为yAPH（2）PA2PF的最小值为F0Fx分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或′准线作出来考虑问题。解：（1）设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PFPAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF45当P是FA的延长线与椭圆的交点时,PAPF取得最小值为4-5。（2）作出右准线l，作PHl交于H，因a24，b23，c21，所以a2，1c1，e.21PH,即2PF∴PFPH2∴PA2PFPAPH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a2xA413c5x2y21上
8、的点到直线xy60的距离的最小值．例、求椭圆3例6、
