概率公式总结.docx

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1、一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBAABBA结合律(AB)CA(BC)ABC(AB)CA(BC)ABC分配律A(BC)ABACA(BC)(AB)(AC)德摩根律ABABABAB2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P(A)1P(A)加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)条件概率公式P(BA)P(AB)P(A)乘法公式P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(B)P(AB)n全概率公式P(B)P(Ai)P(BAi)i1贝叶斯公式P(AjB)P(Aj)P(BAj)（逆概率公式）P

2、(Aj)P(BAi)i1伯努力概型公式Pn(k)Cnkpk(1p)nk,k0,1,nP(AB)P(A)P(B)；P(BA)P(B)；P(BA)P(BA)；P(BA)P(BA)1；两件事件相互独立相应公式P(BA)P(BA)1二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(Xb)F(b)P(aXb)F(b)F(a)2、散型随机变量分布名称分布律0–1分布B(1,p)P(Xk)pk(1p)1k,k0,1二项分布B(n,p)P(Xk)Cnkpk(1p)nk,k0,1,,n泊松分布P()kP(Xk)e,k0,1,2,k!几何分布G(p)超

3、几何分布H(N,M,n)3、续型随机变量分布名称均匀分布U(a,b)f(x)P(Xk)(1p)k1p,k0,1,2,knkP(Xk)CMCNM,kl,l1,,min(n,M)CNn密度函数分布函数1axb0,xa,xaxbbaF(x),a0,bab其他1,x指数分布E()f(x)ex,x0F(x)0,x00,ex,x0其他1正态分布N(,2)1(x)21x(t)2f(x)e22e222xF(x)dt2标准正态分布N(0,1)1x21x(t)2(x)e2xe222F(x)dt2三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量

4、边缘分布piP(Xxi)P(Xxi,Yyj)pijpjjj2、离散型二维随机变量条件分布pP(XxYy)P(Xxi,Yyj)pij,i1,2ijijP(Yyj)PjpjiP(YyjXxi)P(Xxi,Yyj)pijP(Xxi),j1,2Pi3、连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：FX(x)xf(u,v)dvdu密度函数：FY(y)yf(u,v)dudvP(Yyj)P(Xxi,Yyj)pijiixyf(u,v)dvdufX(x)f(x,v)dvfY(y

5、)f(u,y)du5、二维随机变量的条件分布fYX(yx)f(x,y)fXY(xy)f(x,y),y,xfX(x)fY(y)四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)xkpk连续型随机变量：E(X)xf(x)dxk12、数学期望的性质(1)E(C)C,C为常数E[E(X)]E(X)E(CX)CE(X)(2)E(XY)E(X)E(Y)E(aXb)aE(X)bE(C1X1CnXn)C1E(X1)CnE(Xn)(3)若XY相互独立则：E(XY)E(X)E(Y)(4)[E(XY)]2E2(X)E2(Y)3、方差：D

6、(X)E(X2)E2(X)4、方差的性质(1)D(C)0D[D(X)]0D(aXb)a2D(X)D(X)E(XC)2(2)D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)若XY相互独立则：D(XY)D(X)D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)E(X,Y)E(X)E(Y)若XY相互独立则：Cov(X,Y)06、相关系数：XY(X,Y)Cov(X,Y)若XY相互独立则：XY0即XY不相关D(Y)D(X)7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X)D(X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)(2)Cov(X1X2,Y)Cov(X1,

7、Y)Cov(X2,Y)Cov(aXc,bYd)abCov(X,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1分布B(1,p)二行分布B(n,p)泊松分布P()几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)均匀分布U(a,b)正态分布N(,2)指数分布E()pp(1p)npnp(1p)11ppp2nMnM(1M)NmNNNN1ab(ba)22122112五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若E(X),D(X)2,对于任意0有P{XE(X)}D(X)或P{XE(X)}1D(X)222、大数定律：若X1Xn相互独立

8、且n时，1nXiD1nE(Xi)ni1ni1(1)若X1Xn相互独立，E(Xi)i,D(Xi)2且21nPiiM则：Xini1(2)若X1Xn相互独立同分布，且E(Xi)i则当n1nP时：Xini11n)E(Xi),(nni13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为20的独立同分