专题31 极值点偏移问题的研究(原卷版).docx

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1、文档专题31极值点偏移问题的研究一、题型选讲题型一、常见的极值点偏移问题常见的极值点偏移问题主要有以下几种题型:1.若函数存在两个零点且,求证:(为函数的极值点);2.若函数中存在且满足,求证:(为函数的极值点);3.若函数存在两个零点且,令,求证:;例1、(2019无锡期末)已知函数f(x)=ex-x2-ax(a>0).(1)当a=1时,求证:对于任意x>0,都有f(x)>0成立;(2)若函数y=f(x)恰好在x=x1和x=x2两处取得极值,求证:

2、若函数f(x)在(0,-a)上单调递增,求实数a的取值范围;(3)若a=-1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0,求证:f(x0)<-2.例3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数f(x)=x-asinx(a>0).(1)若函数y=f(x)是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;(2)设a=,g(x)=f(x)+blnx+1(b∈R,b≠0),g′(x)是g(x)的导函数.①若对任意的x>0,g′(x)>0,求证:存在x0,使g(x0)<0;②若g(x1)=g(x2)(x1≠x2),求证:x1x2<4b2.8/8文档例4、(2018南通、泰

3、州一调)已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)有极值,且函数f(x)=(x+a)ex的极值点是g(x)的极值点,其中e是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式;(2)当a>0时,若函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值为M(a),证明:M(a)<-.题型二、构造函数的极值点偏移问题(1)求出函数的极值点;(2)构造一元差函数;(3)确定函数的单调性;(4)结合,判断的符号,从而确定、的大小关系.例5、(2017苏州期末)已知函数f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R).(1)当x>1时,求函数f(x)的单调区

4、间和极值;8/8文档(2)若对于任意x∈[e,e2],都有f(x)<4lnx成立,求实数k的取值范围;(3)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1x2<e2k.例6、(2019南通、泰州、扬州一调)已知函数f(x)=+lnx(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)的导函数为f′(x),若f(x)有两个不相同的零点x1,x2.①求实数a的取值范围;②证明:x1f′(x1)+x2f′(x2)>2lna+2.8/8文档二、达标训练1、(2018常州期末)已知函数f(x)=,其中a为常数.(1)若a=0,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)在(0

5、,-a)上单调递增,求实数a的取值范围;(3)若a=-1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0,求证:f(x0)<-2.8/8文档2、(2017南京学情调研)已知函数f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R.(1)当a=b=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)当b=2a+1时,讨论函数f(x)的单调性;(3)当a=1,b>3时,记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2(x1<x2),求证:f(x1)-f(x2)>-ln2.3、已知函数.(1)求的单调区间;8/8文档(2)若函数,是函数的两个零点,是函数的导函数,证明:.4、已知函数为

6、实数)的图像在点处的切线方程为.(1)求实数的值及函数的单调区间;(2)设函数,证明时,.5、过点P(-1,0)作曲线f(x)=ex的切线l.8/8文档(1)求切线l的方程;(2)若直线l与曲线y=af(x) (a∈R)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1+x2<-4.8/8

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