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1、2013年高考数学(理)一轮经典例题一一两平面垂直的判定和性质典型例题一例1.根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明.(1)如图1,已知1acP=l,Awl,在豆内作PA±l于A,在P内作QA，l于a.(2)如图2,已知支cP=l,ae%A三1,作Ap_lP于p,在久内作AQ_Ll于Q,连(3)已知acP=l，A皂%A^P作AP_La于p,AQ_LP于Qjc平面PAQ=H作图与证明在此省略.说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形.典型例题二例2.如图，在立体图形D-ABC中，若AB=CB,AD=CD,E是AC的
2、中点，则下列命题中正确的是()用心爱心专心(A)平面ABC，平面ABD(B)平面ABD，平面BDC(C)平面ABC，平面BDE,且平面ADC，平面BDE(D)平面ABC，平面ADC,且平面ADC，平面BDE分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.解：因为AB=CB,且E是AC的中点，所以BE-LAC,同理有DE_LAC,于是AC_L平面BDE.因为二CA平面ABC,所以平面ABC，平面BDE.又由于AC仁平面ACD所以平面ACD_L平面BDE.所以选c.说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个
3、平面内，得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线，由线线垂直得到线面垂直，由线面垂直可得到面面垂直.典型例题三例3.如图，P是MBC所在平面外的一点，且PA_L平面ABC，平面PAC.L平面PBC.求分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作AD^PC,交PC于D.因为平面PAC_L平面PBC于PC,AD二平面PAC，且AD，PC,所以AD,平面PBC.又因为BCu平面PBC,于是有AD1BC①.另外PA_L平面ABC,BC用心爱心专心u平面ABC,所以PA
4、_LBC,由①②及ADQPA=A,可知BC，平面PAC.因为ACu平面PAC,所以BC，AC.说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直二线面垂直二线线垂直.典型例题四例4.如图，AB是。。的直径，PA垂直于。。所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC，平面PBC.分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理.由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直.证明：因为AB是。。的直径，C是圆周上的点，所以有BC_LAC①.因为PA，平面ABC,BCu平面ABC,则
5、PA,BC②.由①②及AC1PA=A,得BC,平面PAC.因为BCu平面PBC,有平面PAC_L平面PBC.说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直二线面垂直二面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.典型例题五例5.如图，点A在锐二面角a-MN一0的棱MN上，在面口内引射线AP,使AP与MN用心爱心专心的大小.所成的角NPAM为45二，与面口所成的角大小为301求二面角a-MN分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问
6、题得解.解：在射线AP上取一点B,作BH_LP于H,连结AH,则ZBAH为射线AP与平面0所成的角，.■ZBAH=30°再作BQ1MN，交MN于Q,连结HQ，则HQ为BQ在平面°内的射影.由三垂线定理的逆定理,HQ-MNBQH为二面角仪—MN-0的平面角.设BQ=a在RtABAQ中NBQA=90：/BAM=45：「.AB=V2a在RtABHQ中、，2BHQ=90,BQ=a,BH=——a,sinBQH2BHBQ.2VZBQH是锐角，二/BQH=45:即二面角豆-MN-P等于45：说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化
7、为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.典型例题六例6.如图，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角C^-AD-C.用心爱心专心A(1)指出这个二面角的面、棱、平面角；(2)若二面角C*-AD-C是直二面角，求CC的长；(3)求AC'与平面CCD所成的角；(4)若二面角C'—AD—C的平面角为120,求二面角A~CC-D的平面角的正切值.分析：根据问题及图形依次解决.解：(1)
