数学与数学课程

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1、第四章数学与数学课程第一节如何认识数学数学是历史最悠久而又始终充满活力的人类知识领域，也是每个受教育的人一生中需要学习时间最长的学科之一。数学之所以历久常新、人人皆学，是由其作为一门科学的对象、内容、特点和在人类文化中的地位所决定的。对数学的对象、特点和价值有一个正确的观念，或者说树立正确的数学观，对于教好数学，学好数学具有重要的意义。一、数学是一门什么样的学科数学是人类的一种文化活动，与人类其它文化活动既密切联系，又相互区别。正是这种联系和区别，决定了数学在人类文明中的地位及其特殊的教育功能。《标准》一开始就明确陈述道：“数学是研究数量关

2、系和空间形式的科学。”这一简明的定义，是对数学作为一种文化的整体认识的出发点。数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化。然而纵观数学的全部历史人们可以达成这样的共识：尽管经过由古至今的漫长发展，现代数学已是一个分支众多的庞大的知识系统，但整个数学始终是围绕着“数”与“形”这两个基本概念的抽象、提炼而发展的。数学在各个领域中千变万化的应用也是通过这两个基本概念而进行的。然而需要说明的是，这里所说的数量关系与空间形式，并不限于现实世界，而是包括一切可能的数量关系与空间形式：它们既可以是来源于现实世界，也可以是数学自身逻辑的产物。

3、《标准》对什么是数学的这一陈述，反映了以往作为自然科学传统学科之一的数学发展到我们这个时代所经历的深刻变化。从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关。12对自然和社会的探索是数学研究最丰富的源泉，而几乎所有数学分支中那些最初的和最基本的问题都是由现实世界产生的。但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。一门数学分支或一种数学理论一经建立，人们便可在不受外部影响的情况下，仅靠逻辑思维而将它向前推进，并由此导致新概念与新理论的产生（例如虚数、群论、非欧几何等等）。当然这些基于数学内在逻辑需要而产生的数学理论最终又将回归现

4、实，在现实世界的应用中接受检验，并从现实世界获取进一步发展的动力。现实世界与数学内部之间这种反复呈现的相互作用，在现代数学的发展中愈显突出，并赋予现代数学不同于一般自然科学的特征。首先是更高的抽象性。抽象是数学最基本的特征。当然，抽象性并非数学独有，但数学的抽象不同于其它科学之处是，它舍弃了事物的其他一切方面而仅保留数量关系和空间形式。数学的抽象从数与形等原始概念的形成中发其端，经过一系列阶段而达到了现代数学的程度。如前所述，仅就研究对象而言，现代数学研究各种可能的、抽象的数量关系和空间形式，以揭示和描述现实世界或数学自身的抽象世界所具有的

5、特定关系与结构。这样就产生了诸如群、环、域、范畴，无穷维空间、分形几何、拓扑空间、微分流形、微分算子、随机过程、计算复杂性，…等等层出不穷的高度抽象的概念或结构，表征着现代数学各个领域的前沿。与此同时，不仅数学概念，而且数学方法也更趋抽象。例如，从古希腊时代起数学就使用的特有的逻辑推理法则，现今已发展为系统的现代公理化方法，将数学的严密性推向更高的层次。与高度抽象相联系的现代数学的另一个特点是其空前广泛的应用。数学的广泛应用性也是它一贯的特点，但现代数学的应用无论在广度和深度上都是以往所不能比拟的。数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有

6、的知识领域渗透。数学正在向包括从粒子物理到生命科学、从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军。数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件12：从量子力学的公理化，到广义相对论与统一场论的数学基础等等；现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程；生物学不用数学的时代也早已一去不返，除了生物统计，用微分方程建立生物模型在上世纪取得了突破性成果，抽象的拓扑纽结论与概率论、组合学正一起帮助生物学家解开复杂的DNA结构之谜，等等。除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门中，数学方法的应用也在大显身手：经济学是数学化取得最

7、明显成效的社会科学学科，只要看看历年诺贝尔经济学奖的获奖工作就不难明白这一点，它们绝大部分都涉及数学方法的应用，有的实质上就是数学的方法与理论；数学与语言学这两门最古老的学问之间也架起了桥梁。语言学家们使用数理统计的方法分析语言资料以得出有关语言规律或文化悬疑的重大结论，同时还进行了运用数学与逻辑分析将语言学改造为严格的形式系统的努力。数学的广泛应用催生出一系列交叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古学、史衡学（计量历史学）…，等等，它们的数目还在增加。纯粹数学中最抽象的

8、一些分支也获得应用。在20世纪60年代，像拓扑学这样的抽象数学离实际应用似乎还很遥远。然而拓扑学在今天的物理学、生物学和经济学中正在扮演重要角色。数论曾经被英国数学家哈代看成是“