压缩映射论文

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1、Banach压缩映象原理及其相关应用摘要:详细论述Banach压缩映象原理和推广的Banach压缩映象原理，以及它在关于一些问题的解存在唯一性定理中的广泛应用并列举探索各类方程解的存在的应用。关键词：抽象函数，不动点，压缩映射，抽象微分方程，隐函数存在性定理引言：压缩映射原理的研究是算子方程的求解问题，它不仅具有实义，而且对泛函分析理论的发展起着重大作用。我们首先介绍不动点和压缩映射的定义以及压缩映射原理，并在此基础上，进一步给出一个推广的压缩映射原理。压缩映射原理不仅指出了算子方程Fx二x的解的存在性和唯一性，而且给出了近似求解的方法及误差分

2、析，因而是很有用的。微分方程初值问题的解的存在唯一性定理及毕卡（Picard）逐次逼近法就是它的特例。在Banach空间中这一问题将更为普遍。数学分析中的隐函数存在定理也是压缩映射原理的一个特例。一、几个定义及压缩映射原理定义1：设X,Y为巴拿赫空间，算子F：（一般的，F是非线性的）。如果存在有界线性算子C（X,Y）使得关系式（玉,）=3f对于满足IIM=1的〃eX是一致成立的，则称算子F在点eX处是费力许（Frechet）可微的，并记F（x（））=A,称为F在点4处的费力许导数。为了给出关于算子的有限增量公式（相当于中值定理），我们引入关于抽

3、象函数的积分的概念。设X。）是由实数域到巴拿赫空间X的算子，这种算子通常称为“抽象函12/12数二现设x⑺的定义域是区间［〃/］,将卜”分为n个小区间，分、点为^=t

4、t

5、

6、f（x）-f（V）

7、

8、<^

9、

10、x-x

11、

12、（2）则称F为集合Q上的压缩算子，q称为压缩系数。定理1（压缩映象原理）设算子F在巴拿赫空间X中的闭集Q为自己,且F为Q上的压缩算子，压缩系数为如则算子F在Q内存在唯一的不动点/，若X。为Q中任意一点，作序列,+1=/（乂）'n二0,1,2,（3）则序列｛xju

13、。，且并有误差估计12/12k-^h^hxo）-xo

14、

15、⑷证明：由于FQuQ,故｛xju。设。=反「羽

16、

17、=

18、怛（尤）-羽

19、

20、，利用算子F的压缩性，可依次得到:I

21、x2-xi

22、

23、=

24、f（xi）-尸（天）13%-xoll=qa

25、人-X』=卜（尤）-尸（打卜小2-X』=八"「不』=4%(5)现在估计卜,-工『利用(5)式可得到Xn.CXn

26、x”+p--

27、

28、工”-X“+」

29、+

30、

31、xn+p-l-X”+Pj

32、+…+K坷…++…+。产即

33、

34、x”+p-X」卜奇

35、F（Xo）-Xoll（6）由此可知卜〃｝是柯西点列，由X的完备性知存在X•使得尤-丁又因Q是闭集，

36、故x'e。现在证明x•是算子F的不动点，由算子F在Q上的压缩性知其在Q上连续。事实上,如果』xx'eQt则由式（2）知F（x）-f/（金）。于是在式（3）中令〃-s,既得J=F，）。再证父的唯一性，设若另有一不动点"则IP*-x

37、

38、=IF(x*)-F(x)I1^4-I由于qe(O,l),故上式只能在卜'-4=0时成立于是x*=x至于估计式(4)的证明只需在式(6)中令〃-8证毕。压缩映象原理最常用的两种情形是Q二X及Q二*X中的闭球。12/12对于后者，如下列推论所述：推论1：设F为闭球QuX上的压缩算子，压缩系数为(用uX,且忻(〃)一4归

39、(1一力•(7)则F在病中有唯一不动点X♦且序列⑶收敛于父，收敛速度为式(4),初始近似工。可在病中任取。证明：只要证明F映s”)为自己，如果xe/a)即

40、卜-3工广，则

41、

42、F(«)-a

43、

44、<

45、

46、F(a:)-x

47、

48、+1

49、x-4

50、

51、x-4+(1-q)r

52、敛于/初始近似为任意。证明：当％=1时即为定理1,现设k>1,考察算子G=尸，根据定理1,G在Q上有唯一的不动点X4,因为算子F及G在Q上可交换，故有