模糊数学在数据挖掘中的应用研究

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1、模糊数学在数据挖掘中的应用研究（中国石油大学（华东）计算机与通信工程学院）一、模糊数学基本概念1.模糊集（Fuzzyset）定义1设X是论域，称映射A：X→[0,1]为X上的模糊集合（Fuzzyset）简称F集，记为A。称A(x)为元素x相对于F集的隶属度。称A(·)为F集A的隶属函数。（1）模糊集合的表示：，称为元素属于模糊集的隶属度；则模糊集可以表示为：，或，。（2）模糊集合的运算：，，并集：，交集：，补集：，包含：。2.幂集定义2称论域X上的F集的全体集合为X上的F-幂集。3.模糊集的-截集定义3已知U上模糊子集对，则称为模糊集的

2、-截集；称为模糊集的-强截集；称为、的置信水平或阈值。4.三角范数、反三角范数-15-定义4称二元函数T：[0,1]*[0,1]à[0,1]为三角模或三角范数，简称T-范数，满足以下条件：若a，b，c，d∈[0,1]，有：交换律：T(a，b)=T(b，a)结合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))单调性：a≤c，b≤d时，T(a，b)≤T(c，d)边界条件：T(a，1)=a，T(0，a)=0定义5称二元函数S：[0,1]*[0,1]à[0,1]为反三角范数，简称S-范数，满足以下条件：若a，b，c，d∈[0,1]，有：交换律

3、：S(a，b)=S(b，a)结合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c))单调性：a≤c，b≤d时，S(a，b)≤S(c，d)边界条件：S(a，1)=1，S(0，a)=a注：三角范数T与反三角范数S关于余运算c对偶二、模糊数学的基本定理1.模糊截积定义6已知U上模糊子集，对，也是U上模糊集，其隶属函数为：；称为为与的模糊截积。2.分解定理1已知模糊子集，则。推论1：对。3.分解定理2已知模糊子集，则。推论2：对。三、模糊关系1.模糊关系与模糊关系的合成（1）模糊关系-15-定义7从U到V上的一个模糊关系：，表示具有的关系程度，。

4、（满足01）称为U到V上的一个模糊关系的模糊矩阵。模糊关系性质：∀x∈U，有μR(x,x)=0，则R满足反自反性；∀x,y∈U，x≠y，有μR(x,y)=μR(y,x)，则R具有对称性；∀x,y∈U，有μR(x,y)=μR(y,x)=0，则R具有反对称性；∀(x,y),(x,z),(y,z)∈U×V，有μR(x,z)≥∨(μR(x,y)∧μR(y,z))，则R满足传递性。1）F相似关系：设R是论域U×V上的模糊关系，若R满足自反性和对称性，称R为模糊相似关系。2）F等价关系：若R满足自反性、对称性和传递性，称R为模糊等价关系。（2）F集

5、的内积与外积定义8设论域为X，A,BF(X)，称为F集A与B的内积；称为F集A与B的外积。（3）格贴近度定义9设论域为X，A,BF(X)，称(A·B)()∧()为格贴近度。2.模糊等价矩阵及其矩阵定义10设方阵为以模糊矩阵，若满足=则称为模糊等价矩阵。模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲像乙，乙像丙，则甲像丙”这样的关系。设＝为一个模糊等价阵，01为一个给定的数，令则称矩阵为的截阵。-15-例如，＝为一个模糊等价阵，取0.4<,则=；若取，则=。四、模糊聚类分析模糊划分的概念最早由Ruspini提出，利用这一概念人们

6、提出了多种聚类方法，比较典型的有：基于相似性关系和模糊关系的方法(包括聚合法和分裂法)，基于模糊等价关系的传递闭包方法、基于模糊图论最大树方法，以及基于数据集的凸分解、动态规划和难以辨识关系等方法.然而由于上述方法不适用于大数据量情况，难以满足实时性要求高的场合，因此其实际的应用不够广泛，故在该方面的研究也就逐步减少了.实际中受到普遍欢迎的是基于目标函数的方法，该方法设计简单、解决问题的范围广，最终还可以转化为优化问题而借助经典数学的非线性规划理论求解，并易于计算机实现.因此，随着计算机的应用和发展，该类方法成为聚类研究的热点。1.模糊

7、聚类分析的基本过程（1）计算样本或变量间的相似系数，建立模糊相似矩阵；（2）利用模糊运算对相似矩阵进行一系列的合成改造，生成模糊等价矩阵；（3）最后根据不同的截取水平λ对模糊等价矩阵进行截取分类。2.聚类分析的基本思想用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度，并以此来实现分类．模糊聚类分析的实质则是根据研究对象本身的属性来构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系．模糊聚类分析是基于模糊等价关系进行的，其主要步骤为：（1）确定分类对象，抽取因素数据；（2）建立原始矩阵；（3）数据标准化：对数据进行标准化变化，将数据压缩到[0,

8、1]之间；（4）建立模糊相似矩阵：模糊相似关系的建立，-15-关于各分类对象之间相似性统计量rij的计算，除了采用夹角余弦公式和相似系数计算公式。还有其他一些公式，根据实际情况进行自行设计或参考相应的公式。