数列求和与数列综合应用

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1、数列求和与数列综合应用知识整合要点热点探究►　探究点一　数列求和例1求数列x,2x2,3x3,　…nxn，…的前n项和。解：⑴当x=0时Sn=0⑵当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2⑶当x≠0且x≠1时Sn=x+2x2+3x3+…+nxn①xSn=x2+2x3+3x4…+(n-1)xn+nxn+1②①－②得：(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1化简得：Sn=x(1-xn)/(1-x)2-nxn+1/(1-x)0(x=0)综合⑴⑵⑶得Sn=n(n+1)/2(x=1)x(1-xn)

2、/(1-x)2-nxn+1/(1-x)(x≠0且x≠1）练习：求和：①②③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和(4)求和:（5）求和:（6）已知数列的通项公式，其前n项和为，则数列的前10项和为______.（7）已知数列是首项为a，公比为q的等比数列，则数列的前n项和为____________.75分析：根据数列通项公式的特点，它是由一个等比数列与常数数列的和构成，我们可以分别求和，再将他们的和进行加或减.解：(8)求数列的前n项和.分析：首先将通项公式写成的形式，其中包含等比数列，联

3、想到等比数列的求和方法求和.解：(9)设，求数列的前n项和.(10)已知数列，求它的前n项和.等差、等比数列的判定以及可转化为等差或等比数列的求和问题已知点列P1(x1,1)，P2(x2,2)，P3(x3,3)，…，Pn(xn，n)，PnPn＋1与向量a＝共线，n∈N*，O是坐标原点，x1＝1.(1)求x2，x3；(2)求数列{xn}的通项公式；(3)求的坐标．(x2－x1)＋x1＝(x1,1)＋(x2,2)＋…＋(xn，n)＝(x1＋x2＋…＋xn,1＋2＋…＋n)错位相减法求和等比数列{an}的前n项和为

4、Sn,已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)，均在函数y＝bx＋r(b＞0)且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)因为对任意的点n∈N*，(n，Sn)，均在函数y＝bx＋r(b≥0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．所以得Sn＝bn＋r，当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，所以

5、an＝(b－1)bn－1.(2)当b＝2时，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，跟踪训练2．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，又当n＝1时，a1＝2满足a1＝4×1－2.∴an＝4n－2(n∈N*)设{bn}的公比为q，由b2(a2－a1)＝b1，得4

6、b2＝b1，∴q＝.∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1①4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n②②－①得3Tn＝－1－2(4＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝[(6n－5)4n＋5]，∴Tn＝[(6n－5)4n＋5]．裂项相消法求和(2009年广东卷文)已知点是函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn＞0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－S

7、n－1＝(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若数列前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？跟踪训练3．(2010年山东卷)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.递推关系给出的数列问题在数列{an}中，已知a1＝3，an＋1＝5an＋4(1)求证数列{an＋1}为等比数列；(2)求数列{an}的通项．解析：(1)法一(待定系数法)：设an＋1＋α＝5(an＋α)，则an＋1＝

8、5an＋4α，∴α＝1即aa＋1＋1＝5(an＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝4为首项，5为公比的等比数列．(2)an＋1＝(a1＋1)·5n－1＝4·5n－1.∴an＝4·5n－1－1.法二(除幂法)：两边同时除以5n＋1得：∴an＝5n·bn＝3·5n－1＋5n－1－1＝4·5n－1－1.►　探究点三数列中的探索性问题►　探究点四数列应用题规律技巧提炼高考真题剖析