数列求和与数列的综合应用

《数列求和与数列的综合应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、数列求和与数列的综合应用教学目标1.掌握等比数列的求和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.知识梳理数列求和的常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝；(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝.2．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的

2、对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100

3、＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.要点点拨1．一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适2．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.的方法求和．热点题型一　　　分组求和法求和[例1]　已知数列{x

4、n}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．[思路点拨]　第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．[规律总结]　对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．变式训练1设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{

5、an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.热点题型二　　　错位相减法求和[例2]　(2012·江西)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列{}的前n项和Tn.[思路点拨]　(1)利用方程的思想确定k，然后由an＝求an；(2)用错位相减法求Tn.[规律总结]　本题主要考查数列的通项、递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用．利用an＝来实现an与

6、Sn的相互转化是求解数列问题时比较常用的技巧之一，要注意an＝Sn－Sn－1不能用来求首项a1，首项a1一般通过a1＝S1来求解．当数列的通项由两项的乘积组成，即其中一项是等差数列，另一项是等比数列时，通常运用错位相减法求数列的前n项和．变式训练2(2012·天津)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12

7、＝－2an＋10bn(n∈N*)．热点题型三　　　裂项相消法求和[例3]　(2013·大连模拟)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．[思路点拨]　(1)利用Sn＋1－Sn＝an＋1寻找an＋1与an的关系．(2)先用裂项法求Tn，再根据数列{Tn}的单调性求最小值．[规律总结]　1.在对bn进行裂项时，易犯＝－的错误，可通过通分验证．2．在用裂项相消法求和时，消项后并

8、不一定只剩下第一项和最后一项，也可能剩下前几项和后几项．变式训练3等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求＋＋…＋的值．热点题型四　　　数列的综合应用[例4]　(2011·陕西卷)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，