高等数学--幂级数

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1、第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数第十二章一、函数项级数的概念设对若常数项级数敛点,若常数项级数为定义在区间I上的函数列,称收敛,发散,所有为其发散点的全体称为其为定义在区间I上的函数项级数.收所有收敛点的全体称为其收敛域;为其发散点,发散域.若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它为级数的并写成和函数,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是注记：数项级数的收敛问题.例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数级数解由比

2、值判别法原级数绝对收敛.求级数的收敛域.例11）当时，原级数发散.2）当时，当时，显然收敛;当时，显然发散.3）当级数为级数为故级数的收敛域为：二、幂级数及其收敛性形如其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的即是此种情形.的情形,即称的函数项级数称为幂级数,系数.收敛发散定理1(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证收敛,则必有于是存在常数M>0,使发散发散收敛阿贝尔设当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设

3、有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕发散.幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=+时,幂级数在(－R,R)收敛;在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在发散发散收敛收敛发散(－R,R)加上收敛的端点就是幂级数的收敛域.(－R,R)称为收敛区间.R称为收敛半径，定理2的系数满足证1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级

4、数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝+∞时,即时,则若2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级数发对任意x原级数因此散,因此的收敛半径为说明:因此级数的收敛半径据此定理的收敛半径及收敛域.解收敛;级数为发散.故收敛域为例2级数为交错级数求幂级数对端点x=1,对端点x=－1,例3解所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1求下列幂级数的收敛域:(1)例4的收敛半径.解比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,例5

5、的收敛域.解级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即令三、幂级数的运算定理3及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.设幂级数说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是定理4若幂级数的收敛半径(P276的三条性质)则其和函在收敛域上逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注记:连续,且在收敛区间内可与逐项求导1）反复应用上述结论可得,幂级数的和函数在其收敛区间内具有任意阶导数.2）逐项求

6、导、逐项积分时,运算前后收敛区间不变,但端点处的敛散性可能变.它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是例如：解例6则故有故得的和函数.因此得设由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.一阶常系数齐次线性微分方程！例7的和函数解x＝±1时级数发散,易求出幂级数的收敛半径为1,例8的和函数解及收敛,x=1时级数发散,求级数易求出幂级数的收敛半径为1,也可由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及故有故原级数的和函数为例9解则设例10其中解作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则求极限令而故内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论

7、端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.例3例42)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为例63.求和函数的常用方法—利用幂级数的性质例7已知2.中,n为奇数n为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:因为当时级数收敛,时级数发散,说明:比值判别法成立根值判别法成立在幂

8、级数不能.可以证明阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可