（刷题11）2020高考数学讲练试题素养提升练（六）文（含2019高考模拟题）

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（刷题1+1）2020高考数学讲练试题素养提升练（六）文（含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷　(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·正定中学二模)已知集合A＝{x|y＝ln(x2－3x－4)}，B＝≥0，全集U＝R，则(∁RA)∩B＝(　　)A．[1,2]B．[－1,2)∪(3,4]C．[－1,3)D．[－1,1)∪[2,4]答案　D解析　集合A满足x2－3x－4＞0，(x－4)(x＋1)＞0，则A＝{x|x＞4或x＜－1}，∁RA＝{x|－1≤x≤4}，集合B满足x≥2或x＜1，则(∁RA)∩B＝[－1,1)∪[2,4]．故选D.2．(2019·马鞍山二中一模)已知＝b＋2i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则复数z＝a－bi在复平面内对应的点在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　B解析　由已知得a－3i＝(b＋2i)·i＝－2＋bi，由复数相等的充要条件可得所以z＝a－bi＝－2＋3i，所以复数z＝－2＋3i在复平面内对应点(－2,3)在第二象限，故选B.3．(2019·江淮十校联考)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是(　　)A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关15 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数答案　C解析　由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8×120＝96人，女性人数为0.6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，所以C错误，故选C.4．(2019·东北三校联考)已知cos＝，则sin＝(　　)A．－B.C.D．－答案　B解析　∵cos＝，∴sin＝－cos＝－cos＝1－2cos2＝.故选B.5．(2019·太原五中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则公比q的值为(　　)A．1B．1或C.D．±答案　C解析　若q＝1，则7S2＝14a1,4S4＝16a1，∵a1≠0，∴7S2≠4S4，不符合题意；若q≠1，由7S2＝4S4，得7×＝4×，∴q2＝，又q＞0，∴q＝.故选C.6．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)A．2B.C．1D.答案　A解析　由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.7．(2019·日照一中三模)已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为(　　)15 A．4B．5C.D.答案　D解析　三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥A－BCD，如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，连接CE，AF，由三视图可得，AE＝4，BD＝4，BE＝3，ED＝1，BF＝2，FD＝2，CF＝3.所以CE2＝CF2＋FE2＝9＋1＝10，AC2＝CE2＋AE2＝10＋16＝26，AB2＝BE2＋AE2＝9＋16＝25，AD2＝AE2＋DE2＝16＋1＝17，BC2＝DC2＝FD2＋CF2＝22＋32＝13，所以最长的棱为AC，其长度为.故选D.8．(2019·常州高中模拟)已知直线l：2x＋y－8＝0上的两点A，B，且|AB|＝4，点P为圆D：x2＋y2＋2x－3＝0上任意一点，则△PAB的面积的最大值为(　　)A．5＋2B．2＋3C．4＋2D．4＋4答案　D解析　圆D：x2＋y2＋2x－3＝0变形为(x＋1)2＋y2＝4，可知圆心D(－1,0)，D到直线AB的距离d＝＝2，则圆上P点到直线的距离的最大值为2＋2，可知(S△PAB)max＝×(2＋2)×4＝4＋4，故选D.9．(2019·吉林实验中学三模)已知函数f(x)＝满足∀x1，x2∈R且都有＜0，则实数a的取值范围为(　　)15 A.B.C.D.答案　C解析　由题意知f(x)是减函数，故解得≤a＜，故选C.10．(2019·盐城二模)已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　)A.B．6πC.D．8π答案　A解析　∵AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，所以△ABD与△BDC均为正三角形．过正三角形BDC的中心O1作OO1⊥平面BDC(O为四面体ABCD的外接球的球心)．设M为BD的中点，外接球的半径为R，连接AM，CM，OA，过O作OG⊥AM于点G，易知G为△ABD的中心，则OO1＝OG＝MO1＝MG.∵MA＝×2＝，∴MG＝OG＝×＝，GA＝.在直角三角形AGO中，GA2＋GO2＝OA2，即2＋2＝R2，R2＝，∴四面体ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝.故选A.11．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)A．2sin40°B．2cos40°C.D.答案　D解析　由题意可得－＝tan130°，所以e＝＝＝＝＝.故选D.12．(2019·安庆一中模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的导函数f′(x)是偶函数，若方程f′(x)－lnx＝0在区间上有两个不相等的实数根，则实数c15 的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　A解析　∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝x2＋bx＋c.∵f′(x)是偶函数，∴b＝0，∴f′(x)＝x2＋c.∵方程f′(x)－lnx＝0在区间上有两个不相等的实数根，∴x2＋c－lnx＝0在区间上有两个不相等的实数根，即lnx－x2＝c在区间上有两个不相等的实数根，可化为φ(x)＝lnx－x2(x＞0)的图象与y＝c的图象在区间上有两个不同的交点．∵φ′(x)＝－x＝，∴当x∈时，φ′(x)＞0，φ(x)在上单调递增，当x∈(1，e]时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，e]上单调递减，∴x∈时，φ(x)max＝φ(1)＝－.又φ＝－1－，φ(e)＝1－e2，φ＞φ(e)，∴－1－≤c＜－.故选A.第Ⅱ卷　(选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·济南一中模拟)已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________．答案　解析　由a⊥b可知a·b＝0，即－3＋4k＝0，k＝，故b＝，a＋4b＝(3,4)＋4＝(－1,7)，cosα＝＝，所以所成的角为.14．(2019·洛阳一高二模)已知实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x－2y的最大值为180，则实数m的值为________．答案　6015 解析　当m≤0时，不符合题意；当m＞0时，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z＝3x－2y可变形为y＝x－，作出直线y＝x并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点A(m,0)时，z＝3x－2y取得最大值为180，所以3m－0＝180，解得m＝60.15．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案　　解析　如图，易知sin∠C＝，cos∠C＝.在△BDC中，由正弦定理可得＝，∴BD＝＝＝.由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC15 ＝×＋×＝.16．(2019·潍坊一中三模)直线l：x＝my＋2经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，过原点的直线经过弦AB的中点D，并且与抛物线交于点E(异于原点)，则的取值范围是________．答案　(2，＋∞)解析　因为l：x＝my＋2恒过定点(2,0)，即抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，所以抛物线C的方程为y2＝8x，联立整理，得y2－8my－16＝0，Δ＞0恒成立，所以y1＋y2＝8m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝8m2＋4，所以弦AB的中点D的坐标为(4m2＋2,4m)，直线OD的方程为y＝x，即y＝x，由题意可知，m≠0，与抛物线C：y2＝8x联立可得yE＝，而＝＝＝2＋＞2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·浙江名校高考联盟二模)已知数列{an＋1}的前n项和Sn满足Sn＝2an，n∈N*.(1)求证：数列{an＋1}为等比数列，并求an关于n的表达式；(2)若bn＝log2(an＋1)，求数列{(an＋1)bn}的前n项和Tn.解　(1)证明：由题可知Sn＝(a1＋1)＋(a2＋1)＋(a3＋1)＋…＋(an＋1)＝2an，即a1＋a2＋a3＋…＋an＋n＝2an.①当n＝1时，a1＋1＝2a1，得a1＝1，当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋n－1＝2an－1，　②①－②，得an＋1＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝log2(an＋1)＝log22n＝n，则(an＋1)bn＝n×2n，Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1两式相减得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋115 －2－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2所以Tn＝2＋(n－1)×2n＋1.18．(本小题满分12分)(2019·长沙一模)为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：超过1小时不超过1小时男生208女生12m(1)求m，n；(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？(3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.解　(1)根据分层抽样法，抽样比例为＝，∴n＝48；∴m＝48－20－8－12＝8.(2)根据题意完善2×2列联表，如下：超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计321648计算K2＝≈0.6857＜3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．(3)参加社区服务时间超过1小时的频率为＝，用频率估计概率，从该校学生中随机调查6名学生，15 估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为6×＝4(人)．19．(本小题满分12分)(2019·山东菏泽模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，△BCD，△PAD都是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且AD＝2AB＝4，CD＝2.(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)E是AP上一点，当BE∥平面PCD时，求三棱锥C－PDE的体积．解　(1)证明：因为AD＝4，AB＝2，BD＝2，所以AD2＝AB2＋BD2，所以AB⊥BD，∠ADB＝30°.又因为△BCD是等边三角形，所以∠BDC＝60°，所以∠ADC＝90°，所以DC⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)过点B作BG∥CD交AD于点G，连接GE.因为BG∥CD，BG⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BG∥平面PCD.当BE∥平面PCD时，因为BG∩BE＝B，所以平面BEG∥平面PCD.因为EG⊂平面BEG，所以EG∥平面PCD.又平面PAD∩平面PDC＝PD，所以EG∥PD，所以＝.在直角三角形BGD中，BD＝2，∠BDG＝30°，所以DG＝2cos30°＝3，所以＝＝，在平面PAD内，过点E作EH⊥PD于点H.15 因为CD⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，所以CD⊥EH.因为PD∩CD＝D，所以EH⊥平面PCD，所以EH是点E到平面PCD的距离．过点A作AM⊥PD于点M，则AM＝×4＝2.由AM∥EH，得＝＝，所以EH＝.因为S△PCD＝×4×2＝4，所以VC－PDE＝VE－PDC＝×4×＝6.20．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．解　(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.15 当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋2＝2.21．(本小题满分12分)(2019·开封一模)设函数f(x)＝(x－1)ex－x2.(1)当k＝e时，求f(x)的极值；(2)当k＞0时，讨论函数f(x)的零点个数．解　(1)f′(x)＝xex－kx＝x(ex－k)，当k＝e时，f′(x)＝x(ex－e)，当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(0)＝－1，极小值为f(1)＝－.(2)①当0＜k＜1时，令f′(x)＞0，解得x＜lnk或x＞0，f(x)在(－∞，lnk)和(0，＋∞)上单调递增，在(lnk,0)上单调递减，当k＝1时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴当0＜k≤1时，当x∈(－∞，0)时，f(x)≤f(x)max＝f(lnk)＝(lnk－1)k－ln2k＝－[(lnk－1)2＋1]＜0，此时f(x)无零点，当x∈[0，＋∞)时，f(0)＝－1＜0，f(2)＝e2－2k≥e2－2＞0，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在[0，＋∞)上有唯一的零点，故函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上有唯一的零点．②当k＞1时，令f′(x)＞0，解得x＜0或x＞lnk，f(x)在(－∞，0)和(lnk，＋∞)上单调递增，在(0，lnk)上单调递减，当x∈(－∞，lnk)时，f(x)≤f(x)max＝f(0)＝－1＜0，此时f(x)无零点，当x∈[lnk，＋∞)时，f(lnk)＜f(0)＝－1＜0，f(k＋1)＝kek＋1－＝k，令g(t)＝et－t2，t＝k＋1＞2，则g′(t)＝et－t，令h(t)＝g′(t)，h′(t)＝et－1，15 ∵t＞2，h′(t)＞0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递增，g′(t)＞g′(2)＝e2－2＞0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递增，得g(t)＞g(2)＝e2－2＞0，即f(k＋1)＞0，所以f(x)在[lnk，＋∞)上有唯一的零点，故函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上有唯一的零点．综合①②知，当k＞0时函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上有且只有一个零点．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·山西太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)射线OP的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．解　(1)由可得所以x2＋(y－1)2＝3cos2α＋3sin2α＝3，所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.由ρsin＝2，可得ρ＝2，所以ρsinθ＋ρcosθ－2＝0，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)解法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0.由题意设A，B，将θ＝代入ρ2－2ρsinθ－2＝0，可得ρ2－ρ－2＝0，所以ρ＝2或ρ＝－1(舍去)，即ρ1＝2，将θ＝代入ρsin＝2，可得ρ＝4，即ρ2＝4，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.15 解法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，所以射线OP的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，由解得A(，1)，由解得B(2，2)，所以|AB|＝＝2.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x－1|.(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．解　(1)解法一：由题意f(x)＝当x≤时，f(x)＝－3x＋3≤3，解得x≥0，即0≤x≤，当＜x＜2时，f(x)＝x＋1≤3，解得x≤2，即＜x＜2，当x≥2时，f(x)＝3x－3≤3，解得x≤2，即x＝2.综上所述，原不等式的解集为[0,2]．解法二：由题意f(x)＝作出f(x)的图象如图所示，注意到当x＝0或x＝2时，f(x)＝3，结合图象，不等式的解集为[0,2]．(2)解法一：由(1)可知，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)≤ax的解集为空集可转化为f(x)＞ax对任意x∈R恒成立，15 即函数y＝ax的图象始终在函数y＝f(x)的图象的下方，当直线y＝ax过点A(2,3)以及与直线y＝－3x＋3平行时为临界情况，所以－3≤a＜，即实数a的取值范围为.解法二：不等式f(x)≤ax的解集为空集可转化为f(x)＞ax对任意x∈R恒成立，①当x≤时，f(x)＝－3x＋3＞ax，即(a＋3)x－3＜0恒成立，若a＋3＜0，显然不符合题意，若a＋3＝0，即a＝－3，则－3＜0恒成立，符合题意，若a＋3＞0，即a＞－3，只需(a＋3)×－3＜0即可，解得a＜3，又－3＜a，所以－3≤a＜3.②当＜x＜2时，f(x)＝x＋1＞ax，即(a－1)x－1＜0恒成立，若a－1＜0，即a＜1，则(a－1)x－1＜0恒成立，符合题意，若a－1＝0，即a＝1，则－1＜0恒成立，符合题意，若a－1＞0，即a＞1，只需(a－1)×2－1≤0即可，解得a≤，故1＜a≤所以a≤.③当x≥2时，f(x)＝3x－3＞ax，即(a－3)x＋3＜0恒成立，若a－3＜0，即a＜3，只需(a－3)×2＋3＜0即可，解得a＜，故a＜，若a－3＝0，即a＝3，显然不符合题意，若a－3＞0，即a＞3，则(a－3)x＋3＞0恒成立，不符合题意，所以a＜.综上所述，－3≤a＜，15 即实数a的取值范围为.15