概率论概率论习题解答(第7章)

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1、习题七(A)三、解答题1.设总体服从几何分布,分布律为,()求的矩估计量.解:因为,所以X的一阶矩用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到所以的矩估计量为2.求均匀分布中参数的矩估计量.解:设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本,总体X的一阶、二阶矩分别为m2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2,得到解得的矩估计量为    130    3.设总体的概率密度为,是来自的简单随机样本,求参数的矩估计量.解:总体X的一阶为用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到4.设总体的概率密度为,其中是

2、未知参数,是来自的简单随机样本,求和的矩估计量.解:总体X的一阶为总体X的二阶为    130    用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2,得到解得和的矩估计量为,.5.设,m已知,未知,是来自的简单随机样本,求的最大似然估计量.解:由于X的分布律为基于样本观测值x1,x2,…,xn的似然函数为解得    130    的最大似然估计值为的最大似然估计量为6.设总体的概率密度为,今从X中抽取10个个体,得数据如下:1050110010801200130012501340106011501150试用最大似然估计法估计.解:设X1,X2,…,Xn为

3、总体X的一个样本,基于样本观测值x1,x2,…,xn的似然函数为当时,,令,解得.考虑到所以,θ的最大似然估计值为将数据代入计算,θ的最大似然估计量为0.000858    130    7.设某电子元件的使用寿命的概率密度为为未知参数,是的一组样本观测值,求的最大似然估计值.解:设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本,基于样本观测值x1,x2,…,xn的似然函数为容易看出θ越大L(q)越大,在约束下,即为θ最大似然估计值。8.设是取自总体N(m,1)的一个样本,试证下面三个估计量均为m的无偏估计量,并确定最有效的一个.,,证明:因为独立均服从N(m,1),且.所以,,均

4、为m的无偏估计量。又因为所以最有效。    130    9.设总体X的数学期望为,是来自的简单随机样本.是任意常数,证明是m的无偏估计量.证明:因为Xi的数学期望均为,所以故是m的无偏估计量.10.设总体是来自X的一个样本.(1)试确定常数c,使为s2的无偏估计;(2)试确定常数c,使为m2的无偏估计.解:(1)因为所以当时,为s2的无偏估计。(2)因为所以当时,为s2的无偏估计。11.设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为    130    6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0设干燥时间总体服从N(m,s2);在下面两种情

5、况下,求m的置信水平为0.95的置信区间.(1)由以往的经验知s=0.6(小时);(2)s未知.解:(1)由于s=0.6,求m的置信区间由公式计算,其中n=9,a=0.05,1.96,,代入计算得m的置信水平为0.95的置信区间为(5.608,6.392).(2)由于s未知,求m的置信区间由公式计算,其中n=9,a=0.05,=2.306,,,代入计算得m的置信水平为0.95的置信区间为(5.558,6.442)12.某机器生产圆筒状的金属品,抽出9个样品,测得其直径分别为1.01,0.97,1.03,1.04,0.99,0.98,0.99,1.01,1.03公分,求此机器

6、所生产的产品,平均直径的置信水平为99%的置信区间.假设产品直径近似服从正态分布.解:设X~N(m,s2),由于s2未知,m的置信区间为,其中n=9,a=0.01,,,,代入计算得m的置信水平为99%的置信区间为(0.978,1.033).13.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试,取得数据如下(单位:小时):1050,1100,1080,1120,1250,1040,1130,1300,1200.设灯泡寿命服从正态分布,试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间.解:设X~N(m,s2),由于s未知,m的置信区间为,其中n=9,a=0.05

7、,=2.306,,    130    代入计算得m的置信水平为95%的置信区间为(1071.78,1210.45).14.假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布,现随机抽取此种香烟8支为一样本,测得其尼古丁平均含量为18.6毫克,样本标准差s=2.4毫克,试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间.解:设X~N(m,s2),由于m未知,s2的置信区间为其中n=8,a=0.01,,s=2.4,代入计算得m的置信水平为95%的置信区间为(1.99,40.76).15.从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取

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