求函数值域的基本方法

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1、求函数值域的基本方法作者姓名：梁灏工作单位：重庆市科能高级技工学校通讯地址：重庆市沙坪坝区上桥，重庆市科能高级技工学校邮政编码：400037电子邮箱：LH5136@163.com联系电话：1361833560918983375136摘要：本文通过例题归纳出了求函数值域的几种方法，对有些题目还进行了一题多解，对教师教学水平和学生解题能力的提高有一定帮助。关键词：函数、值域、方法通常把函数的定义域、值域和对应关系叫做函数的三要素。现在的数学教材对求函数的定义域的方法介绍比较多，而对如何求函数的值域涉及较少。本文拟就先通过介绍函数定义域、值域的概念以及常见基本函数的值域，然后

2、通过例题归纳出求函数值域的几种方法。一、函数定义域和值域的概念在函数中，，则自变量的取值范围叫做函数的定义域；对应的函数值的集合叫做函数的值域。二、几种常见基本函数的值域一般说来，函数的值域受其定义域的制约，几种常见的基本函数的值域如下：1、的值域是。2、的值域是：当时，值域为；当时，值域为。3、的值域是。4、的值域是。5、的值域是。6、的值域是；的值域是。三、求函数值域的基本方法1、观察法有些函数的结构并不复杂，可以根据其解析式的特征通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。例1．求函数的值域。7解：。2、配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如

3、的函数的值域问题，均可以使用配方法，借助二次函数的性质求得值域。在解题过程中，要特别注意自变量的取值范围。例2．求函数的值域。解：由得函数的定义域为。3、分离常数法分离常数法适合于求分式函数的值域问题，思路是用分母表示分子，分离出常数，使分子不含变量，再借助基本函数的值域求解。例3．求函数的值域。解：。例4．求函数的值域。解：。4、判别式法此方法是把函数转化为关于的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域。形如7的函数的值域常用此法求得。运用该法求值域的前提是“二次项系数不为0”且分子、分母没有公因式以及函数定义域为。例5．求函数的值域（即用判别式法解例4

4、）。解：由得由于，。5、反函数法（反解法）将看做自变量，利用函数和它的反函数的定义域与值域互逆的关系或基本函数的值域，可求得原函数的值域。例6．求函数的值域。解：由可得。例7．求函数的值域。解：由可得。例8．求函数的值域。7解：由可得。6、换元法换元法就是运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。对于含有结构的函数可用代数代换，令且，使之变形为二次函数，再利用配方法；对于含有结构的函数，可用三角代换，令，或令。例9．求函数的值域。解：令则且，。例10．求函数的值域。解：令，则。7、不等式法利用基本不等式。7用不等式法求值域时，要注意

5、条件“一正、二定、三相等”，即：（1）；（2）；（3）取等号的条件。例11．求函数的值域。解：当且仅当，即时取等号.。例12．求函数的值域。解：当时，当时，综上，。注：例11、例12也可用判别式法求解。8、单调性法通过确定函数在定义域（或定义域的某个子集上）的单调性来求出函数值域的方法称为单调性法。对于函数，若同号则用单调性法求值域，若异号则利用换元法求值域。另外，还有在利用基本不等式求值域失效（即等号不满足）的情况下，也可采用单调性法求值域，但必须要熟悉下述结论：函数。例13．求函数的值域（即用单调性法解例9）。7解：均为增函数.在其定义域上单调增加，.。例14．求函

6、数的值域。解：此题不能使用不等式法（等号不能成立）.但是在时为增函数.。9、数形结合法当一个函数的图像可以作出或利用函数所表示的几何意义，就可借助数形结合法求出函数的值域。比如由平方和联想到距离，由分式形式联想到斜率等。例15．求函数的值域。解：表示数轴上的点到表示实数的点与到表示实数6的点的距离之和..。例16．求函数的值域。解：∴表示直角坐标平面内轴上的点到两定点的距离之和，如图1所示.由图1可得出。7例17．求函数的值域。解：∴可以看作是单位圆外一点与单位圆上的点所连线段的斜率的2倍，如图2所示.由图2可得出设过点的直线方程为∵由圆心到切线的距离为1，∴令解得即∴

7、∴。通过以上各例，我们归纳出了求函数值域的几种基本方法，也知道有些函数的值域可以用多种方法求解。希望本文对教师教学水平和学生解题能力的提高有一定帮助。参考资料：1、全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》，人民教育出版社，2003年6月2、中等职业教育通用教材《数学》，西南交通大学出版社，2006年7月3、高中总复习全优设计《数学（理科）：基础过关版》，知识出版社，2006年5月7