三角恒等变换大题

《三角恒等变换大题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、--三角恒等变换大题1.求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．2.已知函数f(x)＝.(1)求f的值；(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．3.已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tanα－－1的值．-.可修编.--4.已知α是第一象限角，且cosα＝，求的值．5.已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析表达式；(3)若角α是一个三

2、角形的最小角，试求函数f(x)的值域．6．已知函数.（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值。-.可修编.--7.已知，，试求的值．8.已知函数f(x)＝sin2x＋msinsin.(1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝，求m的值．9.已知，．-.可修编.--（1）若，求的单调的递减区间；（2）若，求的值．10．设函数f(x)＝sinxcosx－cosxsin－.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．11.已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2

3、x－4cosx.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．-.可修编.--12.（1）已知课堂活动区例1　解题导引　化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的围是关键．解　y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，由于函数z＝(u－1)2＋6在[

4、－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，当sin2x＝1时，y取得最小值6.变式迁移1　解　(1)f(x)＝＝＝＝＝2cos2x，-.可修编.--∴f＝2cos＝2cos＝.(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝sin.∵x∈，∴2x＋∈，∴当x＝时，g(x)max＝，当x＝0时，g(x)min＝1.例2　解题导引　(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函

5、数通常化为弦函数．解　由sin(＋2α)·sin(－2α)＝sin(＋2α)·cos(＋2α)＝sin(＋4α)＝cos4α＝，∴cos4α＝，又α∈(，)，故α＝，∴2sin2α＋tanα－－1＝－cos2α＋＝－cos2α＋＝－cos－＝.变式迁移2　解　(1)∵α是第一象限角，cosα＝，∴sinα＝.∴＝-.可修编.--＝＝＝＝－.(2)cos(2α＋)＝cos2αcos－sin2αsin＝(cos2α－sin2α)，∵≤α<π，∴≤α＋<π.又cos(α＋)＝>0，故可知π<α＋<π，∴sin(α＋)＝－，从而cos2α＝si

6、n(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2×(－)×＝－.sin2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×()2＝.∴cos(2α＋)＝(cos2α－sin2α)＝×(－－)＝－.-.可修编.--例3　解题导引　本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利

7、用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明　由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.(2)解　由(1)得＝2tanα，即＝2x，∴y＝，即f(x)＝.(3)解　∵角α是一个三角形的最小角，∴0<α≤，0

8、当x＝时取“＝”)．故函数f(x)的值域为(0，]．变式迁移3　证明　因为左边＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．-.可修编.--所以原等式成立．课后练习区1．D　[∵0<α<π，3sin2α＝sinα，∴6sinαc