【高中】高中导数应用

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1、函数、导数及其应用导数【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率：函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为fx()fx()y21，若xxx，yfx()fx()则平均变化率可表示为。2121x2x1x2、函数y=f(x)在x=x0处导数：（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率fx(0x)fx(0)ylimlim为y=f(x)在x=x0处导数，记作x0xx0xyfx(0x)fx(0)f(x0)或y

2、xx0,即f(x0)limlimx0xx0x（

3、2）几何意义：函数f(x)在点x处的导数fx()的几何意义是在曲线y=f(x)上点（x，00fx()0）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=fx()0(x=x0).fx(x)fx()3、函数f(x)的导数：称函数f()xlim为函数f(x)的导函数，导函x0x数有时也记作y。注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：fx(0x)fx(0)方法一：直接使用定义；f(x0)lim;x0xfx(x)fx()方法二：先求导函数f()xlim，再令x=x0求fx(0)x0x4、基本初等函数的导数公式函

4、数导数ycy'0n*n1yfx()xn(Q)y'nxysinxy'cosxycosxy'sinxxxyfx()ay'aln(aa0)xxyfx()ey'e精品学习资料可选择pdf第1页，共12页-----------------------1fx()logaxf'()x(a0且a1)xlna'1fx()lnxf()xx5、导数运算法导数运算法则'''1．fx()gx()f()xgx()'''2．fx()gx()f()()xgxfxgx()()'''fx()f()()xgxfxgx()()3．(()gx

5、0)2gx()gx()6、复合函数的导数：复合函数yfgx的导数和函数yfu，ugx的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题1、函数的单调性与导数：在某个区间（a,b）内，如果f()x0，那么函数yfx()在这个区间内单调递增；如果f()x0，那么函数yfx()在这个区间内单调递减。如果f()x0，那么函数yfx()在这个区间上是常数函数。注：函数yfx()在（a,b）内单调递增，则f()x0，f()x0是yfx()

6、在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数：（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，那么f(x0)是极大值．（2）如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，那么f(x0)是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数：函数f(x)

7、在[a,b]上有最值的条件：如果在区间[a,b]上函数yfx()的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。4、生活中的优化问题：解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案精品学习资料可选择pdf第2页，共12页-----------------------【热点、难点精析】一、变化率与导数、导数的运算（一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接（1）根据导数的定义求函数yfx()在点x处导数的方法：0①求函数的增量yfx(0x)fx(0)；yfx(

8、0x)fx(0)②求平均变化率；xxy③得导数f(x0)lim，简记作：一差、二比、三极限。x0x（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。2、例题解析42〖例1〗求函数y=x的导数。y2xx422xx(xx)解析：，y2xx8limlim4223x0xx0x(xx)x。=-2〖例2〗一质点运动的方程为s83t。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）s分析（1）平

9、均速度为；t2（2）t=1时的瞬时速度即s83t在t=1处的导数值。2解答：（1）∵s83t222∴Δs=8-3(1+Δt)-(8-3×1)=-6Δt-3(Δt),sv63t.ts（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度vlimlim(63t)6t0tt0精品学习资料可选择pdf第3页，共12页-----------------------求导法：质点在t时刻的瞬时速度2vst()(83)t6t，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数