资源描述：
《泛函分析试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、泛函分析期末考试试卷（总分100分）一、选择题（每个3分，共15分）1、设X是赋范线性空间，x,yX，T是X到X中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）.A．TxTyxy，01B.TxTyxy，1C.TxTyxy，01D.TxTyxy，12、设X是线性空间，x,yX，实数x称为x的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）.A.x,0且x0等价于x0B.xx,为任意实复数C.xyxyD.xyxy3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）.A．收敛点列的极限是唯一的B.基本点列是收敛点列C．基本点列是有界点
2、列D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是（）.A．集X是开的B.集Y是开的C.集X是闭的D.集Y是闭的pq115、设l(1p)的共轭空间为l，则有的值为（）.pq11A.1B.C.1D.22二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。13、l的共轭空间是（）。精品学习资料可选择pdf第1页，共6页-----------------------4、设X按内积空间成为内积空间，则对于X中任意向量x,y成立不
3、等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。()2、距离空间中的列紧集都是可分的。()3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。()4、任何一个Hilbert空间都有正交基。()5、设X是线性赋范空间，T是XX的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。()四、计算题（10分）11叙述l空间的定义，并求l上连续线性泛函全体所
4、成的空间？。五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分）1、若T为Banach空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。精品学习资料可选择pdf第2页，共6页-----------------------2、设C[0,1]表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何xy,C[0,1]，令1dxy(,)
5、xt()yt()
6、dt证明,(,)xd成为度量空间。0nnn3、证明R按范数
7、
8、
9、
10、max
11、xi
12、组成的赋范线性空间X与R按范数
13、
14、
15、
16、x
17、i
18、ii1组成的赋范线性空间Y共轭。4、设X是可分
19、Banach空间，M是X中的有界集，证明M中每个点列含有一个弱*收敛子列。5、设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。精品学习资料可选择pdf第3页，共6页-----------------------泛函分析期末考试试卷答案一、选择题1、A2、D3、B4、D5、D二、填空题1、柯西点列2、巴拿赫空间3、l4、
20、
21、≦
22、
23、x
24、
25、
26、
27、y
28、
29、5、对于一切x∈X,是实数三、判断题1、对2、对3、错4、错5、错四、计算题1答：lx(,12,L)i,iRi,(1,2
30、L)i1对于任意x(,12,Ln,L)，y(1,2Ln,L)，定义运算xy(11,22Lnn)，ax(a1,a2Lan)1l按上述加法与数乘运算成为线性空间x1ii11l按上述定义的范数构为Banach空间n令en(0,0L1,0L),n1,2L，xn(,12Ln,0,0,L),xniieni1'1则x(,12LnL)l1能被表示为xlimxn，对任意给定fl，nnnn令fe(n)n,n1,2L则fx()f(limxn)limfx(n)limife()iii.nnni1i1又因为ei1对于i有ife()if
31、ei1f。由此可得supif即(1,2LnL)li1反之，对b(1,2LnL)l，作l上泛函fx()如下：n11fx()ii,x(,12LnL)l，显然f是l上线性泛函，又因为i1fx()iiiisupi.isupix1,i1i1ii1i精品学习资料可选择pdf第4页，共6页-----------------------1'1'因此，f(),l并且有fsupib.综上()ll.i五、证明题（共50分）1、证：反证法。若T为定义在整个空间X上的闭算子，由于X为闭集，而X为Banach空间，由闭图像定理可知，T
32、为X到X的有界闭算子，这与T为无界闭算子矛盾，原命题成立。2、证：由定义，对于xy,C[0,1],显然dxy(,)0,且如果xt()ytt(),[0,1],显然dxy(,)0,反之如果dxy(,)0,因为
33、()xtyt()
34、0,所以xt()yt(),..ae于[0,1],由于xt(),()yt为连续函数，若t0[0,1],使得xt()0yt(),0则存在0,使得在(t0,t0)[0,1]区间上，均有xt()yt(
