线性代数相似矩阵

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1、§5.3方阵相似于对角矩阵的条件相似矩阵及其性质方阵的相似对角化小结3.1相似矩阵及其性质1.等价关系3.1相似矩阵及其性质2.若，则证明：，则由矩阵秩的性质显然有3.若，则证明：，则两端取行列式有又所以4.若，则证明：，则两端取转置并记有所以5.若且A可逆，则B可逆，且证明：，则所以B可逆，又两端取逆有所以6.若，则对任意多项式，有证明：，则对任意的正整数m及任意数k易证所以对任意多项式，有所以证明7.若，则A与B有相同的特征多项式和特征值推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(12n)相似则1

2、2n即是A的n个特征值因为12n是的n个特征值由定理1知12n也是A的n个特征值证明7.若，则A与B有相同的特征多项式和特征值相似矩阵的作用若APBP1则AkPBkP1A的多项式(A)P(B)P1特别或有可逆矩阵P使P1AP为对角阵则AkPkP1(A)P()P1其中kdiag(1k2knk)()diag((1)(2)(n))定理1若n阶矩阵A与B相似则A与B的

3、特征多项式相同从而A与B的特征值也相同推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(12n)相似则12n即是A的n个特征值下页矩阵的对角化一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求相似变换矩阵P使P1AP为对角阵？设P1AP其中P(p1p2pn)diag(12n)则APP即A(p1p2pn)(p1p2pn)diag(12n)(1p12p2npn)于是有Apiipi

4、(i12n)可见i是A的特征值而P的列向量pi就是A的对应于特征值i的特征向量反之由上节知A恰好有n个特征值并可对应地求得n个特向量这n个特征向量即可构成矩阵P使APP定理n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等则A与对角阵相似矩阵的对角化一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求相似变换矩阵P使P1AP为对角阵？下页例判断实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系例判断实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解

5、系求得基础解系所以矩阵可化为对角阵例设问x为何值时矩阵A能对角化？解得11231矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根231有2个线性无关的特征向量即方程(AE)x0有2个线性无关的解亦即系数矩阵AE的秩R(AE)1所以当x1时R(AE)1此时矩阵A能对角化因为如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．定理3.4设是矩阵的重特征值则对应于的特征向量中线性无关组的向量个数最多为定理3.2设是矩阵的互异特征值，是对应于特征值的线性无关特征向量组，则是线性无关组。

6、定理3.3例设求解因为

7、AE

8、(1)(4)对应11解方程(AE)x0对应14解方程(A4E)x0于是有可逆矩阵P(p1p2)及diag(14)使P1AP从而或APP1所以A的特征值为1124得p1(2-1)T得p2(11)T而计算得