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1、傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用王家硕学号：1252015一、Fourier变换1.一维连续傅里叶变换设f(x)为x的实变函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件：（1）具有有限个间隔点。（2）具有有限个极点。（3）绝对可积。则f(x)的傅里叶变换（FourierTransformation，FT）定义为:Fourier正变换：；Fourier逆变换：，式中：，ω为频域变量。f(x)与F(w)构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f(x)为实函数，则它的傅里叶变换F(w)通常是复函数，于是F(w)可写成F(w)=R(w)+jI(w)(1)式中：R(
2、w)和I(w)分别是F(w)的实部和虚部。公式1可表示为指数形式：式中：F(w)为f(x)的傅里叶幅度谱，f(w)为f(x)的相位谱。2.二维连续傅里叶变换如果二维函数f(x,y)是连续可积的，即，且F(u,v)是可积的，则二维连续傅里叶变换对可表示为：对于图像f(x,y)，F(u,v)是它的频谱。变量u是对应于x轴的空间频率，变量v是对应于y轴的空间频率，与在一维的情况类似，可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为：1.一维离散傅里叶变换对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采样N个，则这个离散序列可表示为{f(0),f(1),f(2),L,f(N-
3、1)}。则其离散傅里叶变换F(u)为：离散傅里叶反变换（IDFT）为：式中：x=0,1,2,L,N-1。令，则上述公式变成：2.二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换：二、傅里叶变换在图像处理中的应用傅立叶变换在图像处理中有非常重要的作用，被广泛应用于图像增强与图像去噪、图像分割之边缘检测、图像特征提取（形状、纹理）、图像压缩等方面。1.基于傅里叶变换的图像增强在图像处理中，图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合；低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息。高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过。低通滤波
4、器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过。图像频域滤波增强技术是在频率域空间对图像进行滤波，因此需要将图像从空间域通过傅里叶变换频率域，具体操作如下：假定原图像f(x,y)，经傅里叶变换为F(u,v)，频率域增强就是选择合适的滤波器函数H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行调整，然后经逆傅里叶变换得到增强的图像g(x,y)。该过程可以通过下面的流程描述：（１）对原始图像f(x,y)进行傅里叶变换得到F(u,v)；（２）将F(u,v)与传递函数H(u,v)进行卷积运算得到g(u,v)；（３）将g(u,v)进行傅里叶逆变换得到增强图像g(x,y)。频域滤波的核
5、心在于如何确定传递函数，即H(u,v)。常用的频率域低通滤波器H(u,v)有4种。理想低通滤波器、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器、指数低通滤波器、梯形低通滤波器。2.图像增强MatLab实现clearall;I1=imread('cameraman.tif');%转载图像fftI1=fft2(I1); %二维离散傅立叶变换sfftI1=fftshift(fftI1); %直流分量移到频谱中心RR1=real(sfftI1); %取傅立叶变换的实部I
6、I1=imag(sfftI1); %取傅立叶变换的虚部A1=sqrt(RR1.^2+II1.^2); %计算频谱幅值A1=(A1-min(min(A1)))/(max(max(A1))-min(min(A1)))*225;%归一化subplot(3,2,2);imshow(A1); %显示原图像的频谱figure,imshow(I1,[]);%把图像显示出来%I1=imnoise(I1,'salt&pepper');%figure,imshow(I1);snoise=0.1*randn(s
7、ize(I1)); I1=imadd(I1,im2uint8(snoise)); % 受随机噪声干扰figure,imshow(I1); %显示噪声图像f=double(I1);%图像存储类型转换g=fft2(f);%傅立叶变换g=fftshift(g);%转换数据矩阵[N1,N2]=size(g);%测量图像尺寸参数n=2;d0=50;n1=fix(N1/2);n2=fix(N2/2);fori=1:N1forj=1:N2d=sqrt((i-n1)^+(j-n2)^2)h=1/(1+0.414*(d/d0)^(2*n));%计算Butterwor
