高斯函数

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1、.定理2设f(x)xx，则f(x)是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b).高斯函数一、知识概要1、定义：设xR，用x表示不超过x的最大整数。则yx称为高斯函数，也叫取整函数。显然，yx的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即xxa0a1，因此，xxx1，这里，x为x的整数部分，而xxx为x的小数部分。(b)2、性质(a)1、函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1x2时，有x1x2；2、nxnx，其中nZ；例1、方程[x]x1实数根的个数3、x1xxx1

2、；4、若xyn，则xna,ynb,其中0a,b1；5、对于一切实数x,y有xyxy；6、若x0,y0，则xyxy；x1（x不是整数时）例2、函数f(x)定义在R上，对任意xR,有f(x1)f(x)，则函数f(x)在R上是否7、xx为增函数，请说明理由。（x是整数时）xx8、若nN，则；当n1时，xx；nna9、若整数a,b适合abqr（b0,q,r是整数，0rb），则q；bx例3、作出函数为y[sinx]的图像.10、x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有个；n下面再来讨论高

3、斯函数x的图像及x的图像和性质.对于函数yx,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数x的图像的基本性质和特征.(1)由yx的性质知x的图形在yx的图形的下方.(2)由yx的性质知x的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段,这组平行线段呈阶315例4、定义函数yxn,nxn1,nN,若y，求实数x的取值范围。22梯形.可见函数yx是一个不减(非单调)的非周期的函数,其图像如下(a)..x[0,n)(nN)时,设函数f(x)的值域为A,记集合A中的元素个数为an；an90（1）求通项an；（2

4、）求an的前n项的和Sn；（3）求的最小值。n12n例5、已知an是首项为1，公比为q的等比数列，Pna1a2Cna3CnLan1Cnn2[]*0242(nN,n2)，QnCnCnCnLCn，（其中[t]表示不超过tPn的最大整数，如[2.3]2），如果数列{}有极限，求公比q的取值范围。Qn56x15x7例8、解方程85n2[]242例6、已知an是首项为a0的非常数等差数列，Pna0a2Cna4CnLanCn，2[]2n12[]11352Qna1Cna3Cna5CnLan1Cn，其中[t]表示

5、不超过t的最大整数，如2[]12[2.3]2），求PnQn3例9、解方程3xx3例7、定义函数f(x)[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[1.5]1，[1.3]2,当..74若n0，则x；若n1，则x。155注：本例中方程为uv型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。2．若[x]=5，[y]=-3，[z]=-1,mj[x–y–z]可以取值的个数是（）A．3B．4x1x1C．5例10、解方程42D．63．设[x]表示不超过x的最大整数，若M=[x],N[x]，其中x≥1

6、，则一定有（）A．M>NB．M=NC．M<ND．以上答案都不对。4．给出下面三个命题：（1）[x+1]=[x]+1;（2）[x+y]=[x]+[y]（3）[x·y]=[x]·[y]其中正确命题的个数是（）A．0B．3C．1D．2x[u]x[u]高斯函数练习5．[x]表示取数x的整数部分，若y()441、如果x为任意实数，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[7