高等代数知识结构

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1、高等代数知识结构行列式的计算一、高等代数知识结构图研究范围线性空间酉空间复数域上的正交变换酉空间的性质欧式空间正交变换与正交矩阵正交化与正交补的求法欧式空间的性质线性空间可对角化及不变子空间特征值与特征向量坐标变换与基变换线性变换线性空间的性质与同构，子空间的判定II-C定理若尔当典范性矩阵的可对角化J矩阵对称双线性函数单线性函数线性函数正定性，合同对角化化为标准型（配方法，线性方程组法，正交法）二次型线性流形中心课题线性典范型向量相关性线性相关和线性无关极大线性无关组工具线性方程组线性方程组线性方程组的解法及判别定理线性方程组解的结构矩阵的运算与逆矩阵的初等变换矩阵矩阵的秩行列式的性质行

2、列式高等代数线性代数多项式理论多元多项式/对称多项式韦达定理根的判别式判定（爱绅斯坦因）求法多项式根的理论有理数域实数域复数域因式分解理论重因式因式分解唯一性互素与同于最大公因式定理整除理论二、高等代数知识结构内容（一）线性代数：工具：线性方程组1.行列式：1行列式的计算设有个数，排成行列的数表，即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积⑴的代数和，这里是的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当是偶排列时,⑴带正号；当是奇排列时,⑴带负号．即=，这里表示对所有级排列求和.a.行列式的性质：性质1.行列互换，行列式不变。性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列

3、式的一行就相当于用这个数乘此行列式。性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。2.矩阵：a.矩阵的秩：矩阵A中非零行的个数叫做矩阵的秩。b.矩阵的运算定义同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．矩阵相等：设,,若,称.线性运算：,加法：数乘：负矩阵：减法：矩阵的乘法定义：设,其中元素

4、的列数=的行数。的行数=的行数；的列数=的列数．与的先后次序不能改变．(5)矩阵的初等变换矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去。3.线性方程组一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为式中代表未知量，称为方程组的系数，称为常数项.线性方程组称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即.令，,，则可用矩阵乘法表示为，a.线性方程组的解法1)消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个

5、方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.2)应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理1如果含有个方程的元线性方程组的系数矩阵的行列式，那么线性方程组有唯一解：其中是把矩阵中第列换成线性方程组的常数项所成的矩阵的行列式，即此外，还可以叙述为，如果含有个未知数、个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式，则线性方程组一定有解，且解是唯一的.广义逆矩阵法设.如果存在，使得，则称为矩阵的一个{1}-广义逆矩阵，记作.矩阵的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵的{1}-逆的全体记为.若，为的一个{1}-广义逆矩阵，

6、则对为任意的矩阵，矩阵的一个{1}-广义逆矩阵为,同时还可以表示为.广义逆矩阵的计算：(1)设，且有和阶置换矩阵使得则对任意的，矩阵是的一个{1}-广义逆矩阵.若存在使得则矩阵的{1}-逆的全体(2)设，则有惟一{1}逆的充分必要条件是，且，即可逆.这个惟一的{1}逆就是.4.向量相关性a.判断向量组线性相关的方法1)线性相关2)的对应分量成比例线性相关3)含有零向量的向量组是线性相关的4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出5)部分相关则整体相关6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；7)n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)8)该向量组的秩小于它

7、所含向量的个数向量组线性相关9)n个n维的向量构成的行列式=0该向量组是线性相关的10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关b.判断向量组线性无关的方法1)线性无关2)的对应分量不成比例线性无关3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出4)整体无关则部分无关5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关6)该向量组的秩等于它所含向量的个数向量组线性无关7)n个n维的向量构成的行列式0该向量组是线性无关的