数学初赛 试题

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1、2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答第一试一.选择题（每小题分，共分）、设为质数，并且和也都是质数，若记，微则在以下情况中，必定成立的是（）．、都是质数；、都是合数；、一个是质数，一个是合数；、对不同的，以上各情况皆可能出现．答案：．解：当时，与皆为质数，而，都是质数；当质数异于时，则被除余，设，于是，，它们都不是质数，与条件矛盾！、化简的结果是（）．、；、；、；、．答案：．解：；，因此，原式．、的末位数字是（）．、；、；、；、．答案：解：的末位数字按的顺序循环，而的末位数字按的顺序循环，因为是形状的数，所以的末位数字是，而的末位数字是，所以的末

2、位数字是．、方程的解的情况是().、无解；、恰有一解；、恰有两个解；、有无穷多个解．答案：.解：将方程变形为…①，分三种情况考虑，若，则①成为，即，得；若，则①成为，即，得；若，即时，则①成为，即，这是一个恒等式，满足的任何都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足的一切实数，即有无穷多个解．、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（）．、；、；、；、．答案：．解：分类计算：设正六边形的边长为，那么，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，共计个．、设为整数，并且一元二次方程有等根，而一元二次方

3、程有等根；那么，以为根的整系数一元二次方程是（）．、；、；、；、．答案：．解：由两个方程的判别式皆为，有，以及，即：以及，消去得，，其整根为，于是；因此两个方程分别是：及，前一方程的等根为，后一方程的等根为，易得，以为根的整系数一元二次方程是．二、填空题（每小题分，共分）、直角三角形的三条边长分别为，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于．答案：．解：的面积为，又设其内切圆的半径为，则由，所以，因此内切圆面积为，故剩下部分的面积为．、若，则（）．答案：（）．解：，由，，，解得，；因此．、如图，正方形的边长为，是边外的一点，满足：∥，，则．答案：．解:，设

4、，则，，，由∽，得，即有，所以，，则，再由，即，所以．、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是的倍数，用表示圆周上所有十二个数的和，那么数所有可能的取值情况有种．答案：种．解：对于圆周上相邻的三个数，可以是，或，或，例如，当三数和为时，可以取或或；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为，由于和都是的倍数，那么必有，于是与或者相等，或者相差；又在圆周上，与可互换，与可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是，或，或，因此四段的总和可以取到中的任一个值，总共九种情况．（其中的

5、一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：，其和为，然后每次将一个改成，或者将一个改成，每一次操作都使得总和增加，而这样的操作可以进行八次）．第二试一、（分）试确定，对于怎样的正整数，方程有正整数解？并求出方程的所有正整数解．解：将方程改写为，…………5’由于表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：……10’所以，…①，或…②…③，或…④…………15’由①得（当或）；由②得（当或）；由③得（当或）；或（当或）；由④得（当）；或（当或）．…………20’二、（分）锐角三角形的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边交于；证明：．证：延长交于，由于共点，………

6、…5’则…①…………10’而，…………15’同理有,，…………20’代入①得，…②所以．…………25’三、（分）设为正整数，证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积；2、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积．证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，……5’则为两个连续正整数的乘积；…………10’2、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，则…①…………15’于是，是的倍数，且是奇数；设，由①得，…②…………20’因此，，即，它是两个连续正整数的乘积．……25’