一类具有媒体报道影响的传染病模型的稳定性分析

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分类号：Ｏ１７５学校代码：１０６９７：密级公开学号：２０１５２０５１２ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ硕：士学位论文ＭＡ’ＳＴＥＲＳＤＩＳＳＥＲＴＡＴＩＯＮ一类具有媒体报道影响的传染病模型的稳定性分析学科名称：应用数学作者：王俊荣指导老师：窦霁虹教授西北大学学位评定委员会二〇一八年 StabilityAnalysisofanInfectiousDiseaseModelwithMediaCoverageAthesissubmittedtoNorthwestUniversityinpartialfulfillmentoftherequirementsforthedegreeofMasterinAppliedMathematicsByJunrongWangSupervisor:JihongDouProfessorJuly2018 摘要摘要为了有效地预防和控制疾病，本文阅读了大量文献，建立了比较合理的传染病模型，主要分以下两部分：一是建立了一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型，理论证明了模型平衡点的性质并运用Matlab软件进行验证；二是在第一部分的基础上考虑了潜伏期和复发期两个时滞，建立了一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS传染病模型，同样理论证明了该模型平衡点的性质并运用Matlab软件进行验证，而且经过数据拟合发现一些有意义的结论。本文主要是在K-M思想的基础上，阅读HuaipingZhu教授等人的文章，建立了一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型。利用函数的介值定理计算出模型的平衡点；依据修正再生数以及Hurwitz判别法得到无病平衡点和地方病平衡点稳定的充分条件；采用数值模拟验证了结论的有效性，以及得到人口容纳量越大，感染者在总人数中的比例就越低，最终会趋于一个固定值的新结论。进一步丰富和拓展了LindaQ和HerbertW教授的“Diseasetransmissionmodelswithdensitydependentdemographics”文章的结论。接着考虑到某些疾病存在潜伏期和复发期两个时滞，所以本文将人群分为四类，分别是易感者、潜伏者、感染者和复发者。首先计算出模型的平衡点；其次依据修正再生数以及构造适宜的Liapunov函数得到无病平衡点和地方病平衡点稳定的充分条件；最后利用数据拟合验证了本文得到的结论的有效性，并利用计算机拟合技术发现地方病平衡点全局渐近稳定的现象。进一步丰富了LianwenWang等教授的“Dynamicsanalysisofanepidemionlogicalmodelwithmediaimpactandtwodelays”文章的模型及结论。关键词：传染病模型，媒体报道，logistic，时滞，稳定性I AbstractAbstractInordertoeffectivelypreventandcontroldiseases,areasonablemodelofinfectiousdiseaseswasestablishedbyreadingalotofliteratures.Thepaperwasdividedintotwoparts.First,anSIRSepidemicmodelwithlogisticpopulationchangesinfluencedbymediareportswasestablished,andthenatureofthemodelequilibriumswereprovedandverifiedbyMatlabsoftware.Second,itwasconsideredonthebasisofthefirstpart,itcombinedwithlatencyandrecurrenceperiodtwotimedelaystosetupanSEIRSepidemicmodelaffectedbymediareports.ThemodelequilibriumswereprovedandverifiedbytheMatlabsoftware.Somemeaningfulconclusionswerefoundbynumericalsimulation.AnSIRSepidemicmodelwithlogisticpopulationchangesinfluencedbymediareportswasmainlyestablishedbyK-MthoughtsandthearticlesofprofessorHuaipingZhuetal..Theequilibriumsofthemodelwerecalculatedbythefunction'sintermediatevaluetheorem.AccordingtothemodifiedregenerationnumberandHurwitzidentificationmethod,thesufficientconditionsforthestabilityofthedisease-freeequilibriumandthelocaldiseaseequilibriumwerereceived.Finally,thevalidityofconclusionwasverifiedbynumericalsimulation,andthenewconclusionthatthelargerthepopulationvolume,thelowertheproportionofinfectedpeopleinthetotalpopulation,anditwouldbetendedtoafixedvaluewasfound.AndthesectionisfurtherenrichingandexpandingtheconclusionoftheLindaQandHerbertW’s"Diseasetransmissionmodelswithdensitydependentdemographics".Then,inodertoconsiderthelatencyandrecurrenceperiodofsomediseases,thepopulationwasdividedintofourcategories:susceptible,lurker,infectedandrelapsed.First,theequilibriumsofthemodelwerereceived.Secondly,thesufficientconditionsofthedisease-freeandthelocaldiseaseequilibrium’sstabilitywereobtainedbymodifyingtheregenerationnumberandconstructingappropriateLiapunovfunction.Finally,thevalidityoftheconclusionwasverifiedbynumericalsimulation,andtheglobalasymptoticstabilityoflocaldiseaseequilibriumwasfoundbycomputersimulation.ThesectionisenrichingtheconclusionandthemodeloftheLianwenWang’sarticle"Dynamicsanalysisofanepidemionlogicalmodelwithmediaimpactandtwodelays".Keywords:infectiousdiseasemodel,mediacoverage,logistic,timedelay,stabilityII 目录目录摘要..................................................................................................................................................IAbstract..........................................................................................................................................II第一章绪论.................................................................................................................................11.1研究现状.........................................................................................................11.2问题的提出.....................................................................................................51.3本文的主要工作.............................................................................................61.4预备知识..........................................................................................................6第二章一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析......................................................................................................................................102.1引言................................................................................................................102.2平衡点的存在性...........................................................................................112.3平衡点的稳定性...........................................................................................142.4数值模拟.......................................................................................................192.5本章小结.......................................................................................................21第三章一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS模型的分析..........................223.1引言...............................................................................................................223.2平衡点的存在性...........................................................................................233.3平衡点的稳定性...........................................................................................273.4数值模拟.......................................................................................................313.4.1拟合验证.............................................................................................313.4.2拟合拓展.............................................................................................323.5本章小节.......................................................................................................33总结与展望.................................................................................................................34参考文献.....................................................................................................................35攻读硕士期间取得的学术成果.................................................................................38致谢.............................................................................................................................39III 第一章绪论第一章绪论1.1研究现状传染病是由病原体如病毒、立克茨体、支原体、细菌、真菌、寄生虫等引起的，能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传染的疾病。早在公元年间，Antonine瘟疫[1]、黑死病[2]和麻疹[3]等传染病已经严重危害到人类的健康。1926年，Kermack与Mckendrick学者（简称K-M）为研究黑死病在伦敦和瘟疫在孟买的流行规律，故在1927年提出SIR传染病仓室模型[4]。两位学者将总人群分为3种不同的仓室（即类型）：易感染者、感染者和恢复者（或移出者），它们在t时刻的数量分别用St()、It()、Rt()来表示，模型为：dSSIdtdISII(1.1.1)dtdRIdt其中，指单位时间内一个病人的传染率，指单位时间内病人的恢复率。作者在分析此模型时发现：当R1时，疾病逐渐消失；当R1时，疾病流行。从而，两位学者提00出一个十分重要的理论－－阈值理论，后来的学者们将R称为基本再生数[5,6]。文献[6]0介绍了最常用也是最易懂的求基本再生数的方法。随后，于1932年K-M提出了一类SIS仓室模型[7]，此模型考虑到康复者可能不具有免疫力，则模型(1.1.1)变为：dSSIIdt(1.1.2)dISIIdt渐渐地，研究者们丰富了K-M的仓室模型，考虑到人类自身的因素，如：自然出生率、自然死亡率、因病死亡率等。随着科学技术的发展，而人类生活方式也逐渐发生改变，故新的传染病也相继出现，如HIV、H7N9禽流感、EVD和MERS等。为了尽快掌握和控制疾病的变化规律，研究1 西北大学硕士学位论文者们仍采用K-M仓室建模思想，相继将SIR和SIS仓室模型衍化成SIRS、SEIR、SEIRS和SVIR等模型。为了更加全面地了解、掌握和控制传染病的流行，学者们不再认为传染病的感染率只与人类本身有关，而与外界因素地发展也息息相关。于是，他们结合当代高速发展地媒体网络技术，分析、研究媒体报道在传染病的流行趋势中起到的作用。文献[8]指出：研究媒体或心理作用对传染病的影响的开创性工作的是RongsongLiu等人[9]，提出的模型为：dEeaEaIaH123SIEdtdIE()dhI(1.1.3)dtdHhI()dHhdt其中，S是一参数，假设易感染者总数保持不变；H指住院者；指不受外界影响，疾病的传播率；h指感染者被治疗的比率；指潜伏者自身发展成感染者的比率；d指感染者未治疗时的因病死亡率；d指住院者的因病死亡率，指住院者的康复率；参数ha、、aa分别表示媒体报道对潜伏者、感染者、住院者三类人群的影响。在该文献中，123作者运用2003年大多伦多地区爆发的SARS的数据模拟得到当住院者人数减少时，媒体部门和大众将保持警惕，人类将会减少与他人接触，防止被感染的结论。J.Cuietal.在RongsongLiu等人的思想上，提出了在具有logistic增长的SEI模型中媒体报道的作用，模型[10]为：dSSmIbS(1)eSIdtKdEmIeSI(d)E(1.1.4)dtdIEIdtmI其中，e是媒体报道对疾病的影响函数,m是指人类通过媒体报道对疾病的心理反应。本文得到当m很小时，模型将会出现分支，当m比较大时，模型将会出现多个平衡点的理论结论。随后，Y.Liu和J.Cui[11]又研究了媒体报道在常数人口输入的模型中的影响，2 第一章绪论I并提出媒体对疾病的影响为饱和函数()I，模型如下：1kIdS1IbdS()SIRdtkIdI1I()SI(d)I(1.1.5)dtkIdRIdIRdt其中，指不受外界影响时的疾病的传播率，指在媒体报道的影响下，传染率减小的1最大值，且；指抗体接种率。通过计算得到符合该传播机制的疾病（如：肝炎、1肺结核等）的流行趋势，以及增强媒体报道，减少人类对疾病的恐慌，增强人们自我保2SISI护意识等策略控制疾病流行的结论。另外，一些研究者也选择采用函数和221kI1kI表示媒体报道对疾病的影响力。由于媒体报道和教育在人群中能有效减少传染率到某一[12]ImI水平，所以在文献[8]中也提到：考虑传染率或许比e更实际。而在20131kI年，世界卫生组织（WHO）也对媒体报道对H7N9的影响进行了评估[13]。随着医疗水平和技术的发展，研究者们也发现当人类感染了某种传染病时，不具备直接传染他人的能力，病原体会在人体内潜伏一段时间才具备感染能力，而这段时间被称为潜伏期，如：流行性感冒的潜伏期是1-2天、甲型肝炎病者（HAV）的潜伏期为2-4个月。同样地，被治愈的感染者经过一段时间或许还会转化成易感者或感染者，这段时间成为免疫期（或复发期），如：未完全痊愈的肺结核者、梅毒和疱疹等。因此，许多研究者采用时滞模拟潜伏期和免疫期，如Cook[14,15,16]、Yorke[14]和Busenberg[15]等人。文献[14]以淋病为例，考虑了疾病复发期，没有考虑出生率和死亡率等要素。由此，提出了SIS传染病模型并研究了疾病的流行趋势，模型如下：dS=-βSI+βS(t-τ)I(t-τ)dt(1.1.6)dI=βSI-βS(t-τ)I(t-τ)dt证明了当t趋向于无穷时，疾病流行。文献[15]考虑了潜伏期，同样忽略出生率和死亡率等因素，建立了SEIS模型。模型如下：3 西北大学硕士学位论文dSIt()StIt()()dtdEStIt()()St()(It)(1.1.7)dtdISt()(It)It()dt该文献采用了LaSalle不变原理与Liapunov函数等方法研究了疾病的变化趋势。文献[16]提出一类含两个时滞（即潜伏期和复发期）的SEIRS模型，模型为：dSSIdbNdSIt()edtNtSuIu()()dtu()EuedtNu()(1.1.8)dISt()(It)de(dI)dtNt()tEIu()edtu()dut其中，是疾病的潜伏期，指疾病的复发期。此模型忽略因病死亡率，采用归一化、Liapunov函数和Hurwitz判别法等方法得到无病平衡点和地方病平衡点稳定的充分条件以及当增大恢复率、人口自然增长率b和复发期时，可以降低基本再生数，有效地控制疾病流行。由此可见，时滞也是研究传染病的发展过程、分析疾病原因以及关键因素和寻求预防控制疾病的最优策略中不可忽视的一部分。目前，计算机信息技术也在不断发展，其中模拟技术也被广泛地应用，主要是预测疾病的发展趋势和检验理论证明的有效性，使得建立的模型和得到的结论更具有实际性。目前，学者们建立的模型愈加贴近实际，而且方法也在不断更新，如下表：表1.1文献列举说明表文献考虑因素证明方法压缩映像原理、先验估计、强极值原理、[17,18]异质环境Zorn引理等[19,20]随机扰动、反馈控制Lyapunov函数、伊藤公式[21]年龄结构谱理论和齐次动力系统等方法Lyapunov函数、极限系统理论和Hurwitz[22]人口流动判别法4 第一章绪论除上述列表中考虑的因素外，还有考虑脉冲、医院隔离影响、医院病毒的流动等因素；模型的维数也在增加，例如考虑多种疾病之间的感染即交叉感染等。同样地，许多研究者也借鉴研究传染病的仓室模型思想和理论研究方法，去阐释社会科学中文化共同体内部或之间文化表征的传播过程[23]、计算机网络病毒[24]以及分析国内外电子商务环境中复合渠道现状[25]等。1.2问题的提出根据1.1章节中介绍的经典建模思想和研究者们对传染病模型的分析思路及方法，再通过阅读上述文献分析影响传染病的因素，得到：垂直传染、媒体报道对传染病的发展有极大的影响力。但是，在现实中，人口的最大容纳量、密度制约项也同样影响传染病的发展，所以建立了如下新的传染病模型:dSNSIN(br)mSRqIδR[1fI()]σSd(1)rSdtKNKdINSIN(br)1qI[1fI()]d(1)rεαI(1.2.1)dtKNKdRNN(br)1mSRεIσSd(1)rδRdtKK()ISI其中，是标准传染率，()I1fI()，表示易感者与感染者的最大有效接触N率，1表示媒体影响对有效接触率的最大削减作用。fI()满足：f(0)0,fI()0,lim()1fII且1。指因病死亡率，(1q)指感染者的垂直传染率，(1m)指易感染者和恢复者的垂直传染率，指恢复率，指抗体失效率，指预防接种比例。为进一步分析双时滞在受媒体报道影响的传染病模型中的作用，在系统(1.2.1)的基础上，将人群分为四类，不考虑环境等自然因素、抗体、非感染者的垂直传染等对传染病的影响，建立如下模型：5 西北大学硕士学位论文dSd2bbpIdS[fISI()]εeIt()12dttEt()edtu()[fIu(())]()()dSuIuu1t1(1.2.2)dIdbpIdIIIe1[fIt(())](St)(It)1111dttdtu()Rt()εeIuu()dt2ed2It()指在t时刻经过免疫期后仍活着并其中，p指感染者的垂直传染率；22ed1[fIt(())](St)(It)指在t时刻经过潜伏期后仍进入到感染类的个体；11111活着并进入到感染类的个体。1.3本文的主要工作本文主要是基于K-M仓室模型思想，以及通过阅读大量文献发现传染病与人口最大容纳量、密度制约项与自然出生率和自然死亡率之间的关系、因病死亡率、抗体接种率、抗体失效率、垂直传染和媒体报道都有不可忽视的关系的现象。因此，建立较全面I的数学模型，采用饱和函数()I作为媒体报道对疾病的影响，确定决定疾1kI病灭绝与流行的基本再生数以及模型的无病平衡点和地方病平衡点稳定的充分条件，并且通过数值模拟发现人口最大容纳量对疾病的影响和一些可以预防和控制疾病的有效措施，解决了一类具有logistic人口输入、计算比较复杂的模型的稳定性问题。其次，在此模型的基础上，不考虑密度制约项、易感者和恢复者的垂直传染率和抗体接种率以及总人数为单位1的特殊情形，并引入潜伏期和复发期两个双时滞。主要解决以下问题：确定符合该模型机制的疾病灭绝或流行的基本再生数；无病平衡点和地方病平衡点渐近稳定的充分条件；通过基本再生数表达式和数值模拟发现两时滞对疾病的影响和一些可以预防和控制疾病的有效策略。因此，解决了一类带有双时滞且受媒体报道影响的传染病模型的平衡点的稳定性问题。1.4预备知识考虑自治系统dxfx()(1.4.1)dt6 第一章绪论nn其中fCD(RR,)。[26]1定义1设D是开子集,VC(,)R,假设系统(1.4.1)的轨线有全导数：dVgradVx()fx()0,x(1.4.1)dt则称V是系统(1.4.1)在上的Liapunov函数。定义2[26]（不变集原理）设V是系统(1.4.1)定义在开子集D内的一个Liapunov函数，V在上连续，令_E{xVx()0}，从内出发的任一正半轨()(xx)恒在中且有界，则轨线()x的极限集000(())xM,且有0limdist((,xtx),M)00t则M是系统(1.4.1)在E中的最大不变子集。引理1[27]（Bendixson判据）设xtx(,)是系统(1.4.1)满足初始值xx(0,)的解。给00出两个假设：H)存在一个紧吸引子集KD；1H)系统(1.4.1)有唯一的平衡点xD。2nn11设xPx()是一个矩阵函数，当xD、Px()C时，假如Px()存在且22xK是连续、K是一个紧的吸引集时，定义：1tqlimsup(((,Bxsx0)))dstxKt00[2]11f其中，Bpppp。矩阵Pf是Px()沿f方向的方向导数，()B是矩阵Lozinskilfx11hB测度,()Blim。h0h若满足上述条件，且q0、D是单连通，则系统(1.4.1)的地方病平衡点全局渐近7 西北大学硕士学位论文稳定。定义3[28]（动力系统的一致持续）令，若集合存在不依赖初始值的正常数，使系统(1.4.1)中的任意解xt()的每一分量xii(1,2,,)n均满足tliminfxi,称系统(1)在内是一致持续的。定义4[26]设Q是一个Banach空间,():tQQ是一个连续映射,如果存在一个有界集BQ,使得B吸引Q的所有点,则()t在Q内是点耗散的。定义5[28]令无穷维动力系统的解算子族记为()t，t0。定义Banach空间C上的一致模xxsup。当QC时，定义过yQ的轨道为()u{()}tx。y的-t0[,0]极限集包含z，定义为():{yzQ存在一个序列t,并且n，有lim()tyz}nnn如果对Q的任意有界子集u，t0，有()tuU,并存在一个紧集A,使得lim((),)dtuA0，则称半流()t为渐近平滑的。t引理2[28]若系统(1.4.1)满足下列条件：（i）Q在集合Q内是稠密的，并且是开集，满足QQQ与QQ；（ii）解算子()t满足：():tQQ，()t：QQ；（iii）()t在Q内是点耗散的；（iv）若u在Q内有界，则()u在Q内也有界；（v）()t是渐近平滑的；（vi）BU()y是孤立的并具有一非循环覆盖M，其中：B是限定在Q内()tyBbbj的全局吸引子，且MM；i1i（vii）对MM，有isWM()Qi8 第一章绪论s其中W表示稳定集，则()t是一个关于Q的一致排斥点，即对yQ，存在一个常数0，使得liminf((),dtyQ)。t引理3[29]（Hurwitz判别法）将系统的特征方程写成多项式方程的标准形式：nn12naaaa0(1.4.2)12nn1（a）方程(1.4.2)中所有根具有负实部的充要条件是：aaa132k11aa22k2H0k00a2kkn1,2,,.其中jn时，补充定义a0。j（b）方程(1.4.2)中所有根具有负实部的必要条件是：a0，j1,2,,.nj（c）方程(1.4.2)中的根具有负实部的必要条件是：aaaa，i1,2,,n2(a1)；ii1i1i10充分条件是：aa0.4655aa，i1,2,,n2.i1i2ii1（当n5时，应去掉上式中的等号）。9 西北大学硕士学位论文第二章一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析2.1引言在如今网络迅速发展的时代，不论是传染病爆发初期还是传染病疫情的蔓延时期，媒体报道对传染病的影响力都是不可忽视的。文献[9]介绍了一类受媒体影响的EIH模型，其影响因子函数为fEIH(,,)eaEaIaH123，EIH、、分别表示易感者、感染者、住院者，并用大多伦多地区2003年SARS爆发时的数据进行模拟，检验了影响因子在模kI型中的合理性。文献[30]用非线性函数fI()2表示影响传染率的函数（参数表1I示大众对传染病的心理作用），得出疾病消除与否只取决于基本再生数R0。文献[31]采pM用e作为有效接触率，其中M表示媒体报道变量，证实了个人对媒体报道反应的重要性和行为变化对疾病控制的重要影响。事实上，新疾病爆发初期，人类对媒体报道的关注度极高，这样人类就会采取相应的措施防止被感染，同时极大地降低了传染病的有效接触率。随着病情的持续蔓延，人类对媒体报道的关注度逐渐降低，即媒体对传染病的传染率的影响逐渐减弱，如艾滋病、肺结核等一直存在的传染病。尽管感染者人数不断增加，但易感者参加必需的社会活动mle0II[32]fI()c与他人接触，这时媒体影响函数达到饱和。文献[32]用非光滑函数emlcIIc描述影响因子m的饱和性，反映了媒体报道对有效接触率的影响，最终达到饱和的值为emIc。文献[33]分析了两类具有logistic人口变化的传染病模型。文献[34]用非线性函数fI()abfI()表示在媒体影响下的传染病的有效接触率，得到媒体影响并不是决定iiiiii疾病爆发与否的最主要的因素，但媒体报道对传染病的传播规模有很大的影响。本章节是在文献[33]中模型的基础上，引入人类自身影响传染病的因素垂直传染率和抗体接种率，并参考文献[34-36]，采用更一般的非线性光滑函数()I1fI()作为传染病的有效接触率。由此，建立了一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的10 第二章一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析SIRS传染病模型。本章主要是将人群分为易感者St()，感染者It()和恢复者Rt()。用Nt()表示t时刻的N总人口数，且Nt()的变化满足logistic方程Nt()rN(1)，rbd，其中K指人口最K大容纳量，r指内禀增长率，b指自然出生率，d指自然死亡率。在这里，考虑人口密2N度制约项r既影响自然出生率b又影响自然死亡率d，则假设影响的比例分别为KNN与(1)，故人口的出生率为br，死亡率为dr1。用双线性函数KK()IfI()表示媒体对传染病感染率的影响，得到了新的传染病模型:1dSNSIN(br)mSRqIδR[1fI()]σSd(1)rSdtKNKdINSIN(br)1qI[1fI()]d(1)rεαI(2.1.1)dtKNKdRNN(br)1mSRεIσSd(1)rδRdtKK()ISI其中，是标准传染率，()I1fI()，表示易感者与感染者的最大有效接触N率，1表示媒体影响对有效接触率的最大削减作用。当感染者出现在某一地区时，人们就会意识到潜在的危险，减少与他人接触的机会，以及被报道的感染者人数越多，易感染者与别人接触的机会就越少，故fI()0。又因接触被感染的能力有限，故用极限函数lim()1fI表示。所以，fI()满足：If(0)0,fI()0,lim()1fI。I另外，媒体报道不能完全阻断传染病的传播，所以1。指因病死亡率，(1q)指感染者的垂直传染率，(1m)指易感染者和恢复者的垂直传染率，指恢复率，指抗体失效率，指预防接种比例。结合实际，以上符号代表的值都是非负数。2.2平衡点的存在性将系统(2.1.1)的前三个方程相加，得到总人口数NSIR的变化率表达式为：NNt()rN(1)I(2.2.1)K11 西北大学硕士学位论文SIR为便于分析(2.1.1)和(2.2.1)，采用归一化变换，令x,,yz，则有NNNxyz1。将其代入系统(2.1.1)和系统(2.2.1)中得：NNNx(br)m[(br)(mq)]y[fyN()]xy(br)x1KKKN2y[1fyNxy()][(qbr)]yy(2.2.2)KNN[(1r)yN]K由实际意义知xyzN,,,都是非负数，并由xyz1知，01xy。当NK时，由(2.2.1)知Nt()0。因此，系统(2.2.2)的全部轨线将趋向、进入或停留在D内，其中3DxyN,,R0xy1,0NK(2.2.3)000()brm定理2.2.1系统(2.2.2)存在无病平衡点Ex,0,K，其中：x。br证明：令系统(2.2.2)的左端为零，即NNN(br)m[(br)(mq)]y[fyN()]xy(br)x01KKKN{[1fyNx()][(qbr)]yy}0(2.2.4)KN[(1r)yN]0K当y0时，由系统(2.2.4)可得：0()brmxx，NKW000其中：Wbr，显然x(0,1)，系统(2.2.2)存在无病平衡点Ex,0,K。将系统(2.2.2)中的第二个方程：N2y[fyNxy()][(qbr)]yy1K在0E处线性化得：yFyVy其中：0FxV,qb(r)根据文献[6]可知,修正再生数为:12 第二章一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析0xK[(qbr)]K[(brm)][(qbr)](br)定理2.2.2当1时，若满足下列条件：H)(1qWV)()()[(brm)],1111H)(1m)[(brm)],242****则系统(2.2.2)还存在唯一的地方病平衡点ExyN,,。证明：当y0时，根据系统(2.2.4)中的第三个方程得：yNK(1)(2.2.5)r将(2.2.5)带入系统(2.2.4)中的第二个方程得：(1qyqb)(r)x(2.2.6)fyN()1将(2.2.5)和(2.2.6)代入系统(2.2.4)中的第一个方程，得到一个关于y的方程：2()y(brm)[m(brm)]y(1my)[(1)y(1qyqb)(r)(br)]=0fyN()1下面证明当满足一定条件时，系统(2.2.2)在y(0,1/2)中仍存在唯一地方病平衡点*****ExyN,,，其中y是()y0，y(0,1/2)的解。对函数()y关于y求导得：(1)[(1qyV)]()ym(brm)2(1my)fyN()1(1q)[(1)yW][(1)yW][(1qyV)]2fyN()(1yK)21[fyN()][fyN()]r1`1由H1)可知：[(1)yW][(1qyV)]2()yfyN()(1yK)(brm)1fyN()r1(1qWV)()0113 西北大学硕士学位论文故()y在(0,1/2)内是单调递减的。又因VW(0)(1)11[(1)W][(1q)V]11122()(1m)[(brm)]2421fK[(1)]122r[Wq(1)][(brm)][V(1q)]111当1时，由H2)知，(0)0,()0，则(0)()0，故()y0在y(0,)内必222*有唯一正解y，记yy。由系统(2.2.6)可知：(1qy)*qb(r)***yx**，NK(1)。1fyN()r****综上所述，当1，满足HH12))、时，系统(2.2.2)存在地方病平衡点ExyN,,，其中：(1qy)*qb(r)****y1x**，NK(1)，y(0,)。1fyN()r22.3平衡点的稳定性00定理2.3.1当1时，无病平衡点Ex,0,K局部渐近稳定；当1时，无病平衡00点Ex,0,K不稳定。00证明：系统(2.2.2)在Ex,0,K处的Jacobian矩阵为00rx()mW[(brmq)()]()xK00JE()0xV00Kr则该Jacobian矩阵对应的特征值满足下列方程：0(W)(xV)(r)0对应的特征值为：14 第二章一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析01W，2xVV(1)，3r。00当1时，20。依据Hurwitz判别法知：当1时，无病平衡点Ex,0,K局部00渐近稳定；当1时，无病平衡点Ex,0,K不稳定。定理2.3.2当1时，若满足下列条件：Hr)bq3****H)fyNxN()(1q)41可得地方病平衡点*E局部渐近稳定。****证明：系统(2.2.2)在ExyN,,处的Jacobian矩阵为:****[fyN()]y(1)yMPQ1*JE(*)[fyN(**)]y*fyNxyN(**)***y*fyNxy(**)(**2)rqy111Kr*0NNK其中：*******P[(brm)]fyNxyN()x(1m)y1******2mr()mqryrxQfyNxy()()1KKK则该Jacobian矩阵对应的特征值满足下列方程：32aaaa00123其中：a100***********rNa[fyN()]y[(1)yM]fyNxyN()y111K**********2y[fyN()]y[(1)yM]fyNxyN()r(1)11r0**22yy*******a{[(1r)[(1)yM]}fyNxyN()[(1)yMr](1)21rr********2y2qyN[fyN()][(ybrm)(1y)myr(1)]1r*yrbq()15 西北大学硕士学位论文****y**a[fyN()]yr(1)[br(12)(1ym)][(1)yM]31r*******2yy*[fyNxyNr()(1)(1qyr)(1)]1rr经计算化简知：aaa0123当满足H3)时，有a20。当满足H4)时，有a30。由Hurwitz判别法知：当1时，若同时满足HH))、时，地方病平衡点E*局部渐近稳定。34定理2.3.3由1可得：系统(2.2.2)中的地方病平衡点*E全局渐近稳定。证明：系统(2.2.2)的Jacobian矩阵J为：N[fyN()]y(br)QQ112K2rqyJ[1fyNy()]Q31fyNxy()K2N0Nr(1)yK其中：NQ[(br)(mq)]y[fyN()]xfyNxyN()111Krmrmqy()rxQ21fyNxyN()KKKNQfyNxyN()[fyNx()][(qbr)]2y311K矩阵J的第二加性复合矩阵为：N2rqy[fyN()]y(br)QfyNxy()Q1312KK[2]NN2JN[11fyNy()](br)r(1)QKK2N0[fyNy()]Qr(1)y13Kyy取pxyN(,,)diag(1,,)，则NN1yNyNppdiag(0,,).fyNyN1[2]1矩阵BppfpJp可以写成分块矩阵16 第二章一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析BB1112BBB2122其中：NNB(br)fyNxyN()[fyN()](xy)[(qbr)]3y1111KKqrNNB(fyNxyN(),Q)1212KyTBy(,0)21N2NyN[fyNy()](br)r(1)Q11KKyNB222NyN[fyNy()]Qr(1)y13KyN3令(,,)uvlR，其范数||||定义为||(,,)||max||,||||uvluvl，相应于范数||||的Lozinskil测度是()B，且()supBgg12,，其中：g(B)|B|,g(B)|B|111112212221|BB||，|是相应于l向量范数的矩阵范数,是相应l范数的Lozinskil测度，则1221111()BB，11111qrNNBmax{fyNxyN(),Q}1212KyNQ，2yBy，21下面计算1()B22，把B22的每一列的非对角元素取绝对值加到相应列的对角元素上得：N2NyN(br)r(1)Q1KKyNB,222NyN[fyNy()]Qr(1)yQ113KyN取B22的两个对角元素的最大值为1()B22，则，2NyN(B)QQr(1)y12231KyN由系统(2.2.2)得:17 西北大学硕士学位论文yN[fyNx()][(qbr)]y,1yKNNry(1)NK将其代入gg12,得：yNNNgg[(qbr)]2yx[(br)(mq)]yr21yKKKy[(qbr)r]y利用()supBgg12,得：y()B[(qbr)r]y对所有满足初值的X0((0),(0),(0))xyND，当tt时，有：1tt11yt()tt()dBx()dBxln[(qbr)r]t00ttyt()t即1tlimsupsup()dBx[(qbr)r]0tXDt003由(2.2.3)知DR是单连通，则根据文献[26]中的定理3.3.7得：当1时，系统(2.2.2)中的地方病平衡点E*在D中全局渐近稳定。2.4数值模拟I选取fI()（k是人类对传染病的心理反应速率），参数选取为：kIb0.013,r0.005,0.3,m0.001,q0.25,0.1,0.003,90.9,0.1,0.03,0.15,kK0.2,310.1则0.02731。参数选取为：b0.15,r0.14,0.3,m0.001,q0.05,0.001,0.1,90.02,0.05,0.6,0.1,kK0.2,310.1则1.591。18 第二章一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析718318318取三组初始值(,,1310)(,,1310)(,,1310)、和进行数值模拟，结果如下：81046549x109x10332.52.5E0(x0,0,K)N2N2E(x*,y*,N*)1.51.5110.40.50.410.310.80.80.30.20.60.60.40.40.20.10.20.20.1000yxyx无病平衡点的存在性地方病平衡点的存在性图2.1SIRS模型归一变化后的x-y相平面9x109x10332.52.5E0(x0,0K)E*(x*,y*,N*)N2N2E*(x*,y*,N*)1.51.5110.40.50.410.310.80.80.30.20.60.60.40.40.20.10.20.20.1000yxyx疾病消失疾病衍化成地方病图2.2易感者和感染者在总人数中的比例的变化，实线表示有媒体参与的变化情况,点线表示无媒体参与的变化情况0.250.50.450.20.40.350.15yy0.30.10.250.20.050.1500.1020406080100120140160180020406080100120140tt图2.3感染者在总人数中的比例的变化，实线表示有媒体参与的变化情况,点线表示无媒体参与（10）的变化情况19 西北大学硕士学位论文0.50.450.40.35y0.30.250.20.150.1020406080100120140t图2.4感染者在总人数中的比9例的变化，实线表示k0.2，点线表示k100.50.450.40.35y0.30.250.20.150.1020406080100120t图2.5感染者在总人数中的比910例的变化,实线表示K310，点线表示K310图2.1(a)、(b)分别验证了定理2.2.1和定理2.2.2的有效性。图2.2(a)表明当0.02731时，媒体报道对易感者和感染者在总人数中的比例没有影响；图2.2(b)表明当1.1171时，媒体报道降低了感染者在总人数中的比例，增加了易感者在总人数中的比例。图2.3(a)表明当0.02731时，感染者在总人数中的比例逐渐趋于零，且媒体报道加速了传染病的消亡；图2.3(b)表明当1.1171时，感染者在总人数中的比例逐渐趋于稳定，以及媒体报道有利于降低感染者在总人数中的比例。同时，图2.3验证了定理2.3.1和定理2.3.2的有效性。图2.4表明当1.1171时,在传染病发生后,人们对传染病的心理反应速率越大，媒体报道对感染率的影响就越小,从而感染者在总人数中的比例就越大。图2.5表明当1.1171时，人口环境容纳量越大，感染者在总人数中的比例就越小，但最终趋于一个固定值。综上可知,媒体报道虽然不是影响传染病传播的最主要因素，但它对预防和控制传染病的作用是不可忽视的。20 第二章一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析2.5本章小结本文在文献[24]的模型中引入媒体报道这一因素，并通过阅读文献[26]的引言，选择采用光滑函数()I1fI()作为有效接触率，建立了一类SIRS传染病模型。同时，通过数值模拟得到：媒体报道不仅可以加速传染病的消失，还可以降低感染者在总人数中的比例，以及人口环境容纳量越大，感染者在总人数中的比例就越小，最终趋于一个固定值这一新的结论,从而更加完善地分析了媒体对具有logistic人口变化的传染病的影响。在这里，我们仅考虑到媒体报道这一因素对传染病传播的作用。事实上，传染病在爆发和传播的过程中涉及很多因素，如温度、环境和医疗水平等，这些都是我们以后要做的工作。21 西北大学硕士学位论文第三章一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS模型的分析3.1引言本章首先是在本文第二章的基础上，不考虑环境等自然因素对疾病的影响（即密度制约项）、抗体接种率和易感染者与恢复者的垂直传染率以及总人口数为单位1时的特殊情形，即0,0,mN1,1，则模型(2.1.1)变为：dSbbpIδR[fISI()]dS1dtdIbpI[1fISI()]dεαI(3.1.1)dtdRεId()δRdt其次，通过阅读文献[16]发现：肺结核、流行性感冒、麻疹等疾病在人群中与易感染者充分接触后，易受感染者的体内会潜伏一定量的病毒，这些病毒虽然还没有感染他人的能力，但经过一段时期就具有了感染他人的能力，这个时期成为潜伏期；然而，通过治疗感染者，有些疾病会产生暂时性的免疫力，经过一段时间被治疗的感染者会回到易感人群，称该段时间为免疫期。文献[37]考虑了不受媒体报道影响、疾病传染率为标准传染率以及恢复者疾病复发或者抗体失效时变为易感染者的情形，如：丙型肝炎病毒[38]等。最后,通过查阅资料发现遗传性肝病[39]、肿瘤癌症[40]（可能具有遗传性或传染性）、HIV和没有完全治疗的结核病等疾病的传染率既受当代媒体网络的影响，也具有遗传性和传染性。结合文献[41]，有些疾病既存在潜伏期和复发期，被治愈的患者即恢复者疾病复发后也会成为易感染者，因此建立如下关于时滞的SEIRS传染病模型：dSd2bbpIdS[fISI()]εeIt()12dttEt()edtu()[fIu(())]()()dSuIuu1t1(3.1.2)dIdbpIdIIIe1[fIt(())](St)(It)1111dttdtu()Rt()εeIuu()dt222 第三章一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS模型的分析为简便计算，对(3.1.2)的第二个和第四个方程求其关于时间的导数，得到下面模型：dSd2bbpIdS[fISI()]εeIt()12dtdE[fISI()]ed1[fIt(())](St)(It)dE11111dt(3.1.3)dIdbpIdIIIe1[fIt(())](St)(It)1111dtdRdεIεe2It()dR2dted2It()指在t时刻经过免疫期后仍活着并进入其中，p指感染者的垂直传染率；22ed1[fIt(())](St)(It)指在t时刻经过潜伏期后仍活着到感染类的个体；11111并进入到感染类的个体；其余符号代表的意义与本文第二章模型中符号表示意义的一样。系统(3.1.2)的初始条件：S()x(),()Ex(),()Ix(),()Rx(),1234x()0,[,0],(0)x0,i1,2,3,4(3.1.4)iiT4令x:(,xxxx12,,34)C，将由区间[,0]映射到R0的连续函数组成的Banach空间记为44CR([,0],),其中R{(,xxxx,,):x0,i1,2,3,4}。为保证初始条件的连续性，令001234i0duE(0)e[fIu(())]()()dSuIuu110duR(0)εeIuu()d(3.1.5)2用Nt()表示t时刻的总人口数，将系统(3.1.3)中的四个方程相加，得到总人口数NSEIR的变化率表达式：Nt()bdNI(3.1.6)3.2平衡点的存在性定理3.2.1系统3.1.3的任意解在t[0,)上是唯一的、正的和有界的，从而可行域D4bDSEIR,,,R0SEIRd23 西北大学硕士学位论文是系统3.1.3的正向不变集。证明：由文献[11]中的定理2.1知：系统3.1.3在满足系统3.1.5和3.1.6的条件T下，对t0，系统3.1.3的解SEIR,,,是存在的，且是唯一的。下面证明对一切t0，St()、Et()、It()、Rt()都是正的。首先，证明对所有的t0，St()是正的。否则，假设t10是第一次使St()0的时d()Sttt[0,)都有St()0。由系统3.1.3的第一个方程知：1间，那么对10。从而，dt一个充分小的正常数，使得对任意的t(t11,)t有St()0，这与假设矛盾。所以，对所有的t0，St()是正的。同理，可证明对一切t0，Et()、It()、Rt()都是正的。由系统3.1.6可知，总人口数方程dNbdNIbdNdt解得：bbdtNtN0edd则有bsuplimNttd故St()、Et()、It()、Rt()在t[0,)上均是有界的。又因SEIR,,,都是非负数，所以定4b义DSEIR,,,R0SEIR是系统(3.1.3)的正向不变集。db定理3.2.2系统(3.1.3)存在无病平衡点XS00,0,0,0,其中：S0。d证明：令系统(3.1.3)的左端为零,即bpbIdS[fISI()]εed2I01d[fISI()]e1[fISI()]dE011(3.2.1)pbIdIIIed1[fISI()]01εIεe0d2IdR24 第三章一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS模型的分析当I0时,根据系统(3.2.1)中的第二个和第四个方程得：ER0,0将上式代入(3.2.1)中的第一个方程得：bSS0d故系统(3.1.3)存在无病平衡点XS00,0,0,0。将系统(3.1.3)中的第三个方程：It()ed1[fISI()](pbd)I1在X0处线性化得：IFIVI其中：d1FeS,Vdpb0根据文献[6]可知，基本再生数R0为:ed1Sed1b0R0pbd()dpbd定理3.2.3当R01时，系统(3.1.3)除了存在无病平衡点X0外，还有地方病平衡点*****XSEIR,,,。证明：当I0时，联立系统(3.2.1)的第一个和第三个方程得：1ddS{b[pb(dpb)e12εe]}Idapb(dpb)edd12εe，则有令1S(baI)(3.2.2)db显然有I。a依据系统(3.2.1)中的第二个和第四个方程得：1edd12(1e)E[fISI()]，R=I1dd25 西北大学硕士学位论文将(3.2.2)代入系统(3.2.1)的第三个方程得：d1[fI()](baI)edd(pb)1令()I：[fI()](baI)ed1dd(pb)0(3.2.3)1b其中I[0,]。ab下面证明系统(3.2.3)在I[0,]中存在唯一的正解*I。a当I0时，有：d1(0)bedd(pb)ed1dd(pbR)(1)0b当I时，有：ab()ed1dd(pb)0a又因对函数()I关于I求导得：()IfIbaI()()a[fI()]011b故()I在I[0,]内是严格单调递减的。abbb综上，当R01时有：(0)0,()0，则(0)()0，故()I0在I[0,]内必aaa有唯一正解*I。故当R01时，系统(3.1.3)除了存在无病平衡点X0之外，还存在地方病平衡点*****XSEIR,,,，其中：dd12*1**1e****(1e)*S(baI),E[fI()]SI，R=I。1ddd3.3平衡点的稳定性定理3.3.1若R01时，无病平衡点XS00,0,0,0全局渐近稳定。证明：当R01时，取Liapunov函数26 第三章一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS模型的分析tVt()ed1It()[fIu(())]()()dSuIuu1t1沿系统(3.1.3)的导数是dd()ItVt()e1[fIt(())]()()[StItfIt(())](St)(It)(3.1.3)11111dte[d1pb(d)]()[ItfIt(())]()()StIt1ed1b{[fIt(())]()eStd1}()It1dR0ed1b{[fIt(())]Sed1}()It10dR0(R1)fIt(())01bIt()dR0当R01时，Vt()0；当且仅当EIR0或R01时，有Vt()0。因此，4{(,,,)SEIRRV0}的最大不变集MX{}。依据LaSalle不变集原理：若R1时，00无病平衡点XS00,0,0,0全局渐近稳定。定理3.3.2若R01时，无病平衡点XS00,0,0,0不稳定。证明：系统(3.1.3)在XS00,0,0,0处的Jacobian矩阵为bdd0pbe20dd1b0d(1e)0JX()0ddb00e1pb(d)0d00(1ed2)d则该Jacobian矩阵对应的特征值满足下列方程：3()d1b(d)[epbd]0(3.3.1)d易知，系统(3.3.1)的一个特征根1d（三重），另一个特征根满足：()d1b()：epbd0(3.3.2)d当R01时，可以直接得到：db(0)e1pbdd，lim()(pbd)(1R)0027 西北大学硕士学位论文所以系统(3.3.2)至少存在一个正根。因此，若R01时，无病平衡点XS00,0,0,0不稳定。当R01时，由系统(3.3.2)可定义()d1b1()：e=1(3.3.3)dpbd令xiyxy(,R)是系统(3.3.3)的任意解。假设x0，则有()xiyd1b1(xiy)eddpbxiybeiy1e()xd1ddpbxiybcos(y)isin(y)e()xd111d()dpbx22ybe()xd1dd()pbRe1x10与系统(3.3.3)的结论相矛盾，则假设x0不成立，故x0。因此，若R01时，无病平衡点XS00,0,0,0局部渐近稳定。定理3.3.3当R01时，若满足：d2epb1*****[fI()]SfISI()11*****则地方病平衡点XSEIR,,,局部渐近稳定。*****证明：系统(3.1.3)在XSEIR,,,处的Jacobian矩阵为d[fI()]*I*0pbfISI()***[fI()]*S*ed20111dd11*******(1e)[1fI()]Id(1e)[1fI()1fIIS()]0JX()edd11[fI()]*I*0e[fI()*fIIS()]***pb(d)011100(1ed2)d则该Jacobian矩阵对应的特征值满足下列方程：(d){[2d(fI())][*I*e()d1(fI()*fIIS())***pb(d111)]e()dd12(fI())[*I*pbfISI()***[fI()]*S*e]}0(3.3.4)111则系统(3.3.1)的一个特征根1d（二重）。假设另一特征根2的实部满足Re20，则28 第三章一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS模型的分析e(2dd)1(fI())[*I*pbfISI()***[fI()]*S*e(2)2]111dpb2**[d(fI())]I21e()21d(fI()*fIIS())***11ed1[fI()]**Sdpb可得：利用系统(3.2.1)中第三个方程1dpb2(fI()*fIIS())***(d)(fI())(*I*pbe()22d)e()21d1121**d(fI())I21(fI()*fIIS())***(d)(fI())(*I*pbe()22d)ed11121**d(fI())I21ed1{(fI()*fIIS())***(d)(fI())(*I*pbe()22d)}1121**d(fI())I21edd1{(fI()*fIIS())***(d)(fI())*Ipb*(fI())*I*e()22}11211**21d(fI())Ied1{(fI()**fII()*)S*(d)(fI())*Ipb*(fI())*I*ed2}11211**d(fI())I21edd12{(fI()*fIIS())***(d)(fI())(*I*pbe)}1121**d(fI())I21ed1(fI()*fIIS())***(d(fI()))*I*1121**d(fI())I21ed1(fI())**S1dpb与2dpbdpb矛盾，则假设Re20不成立，所以系统(3.3.4)不含有非负实部的根。ed2pb*****综上，当R01且*****1时，地方病平衡点XSEIR,,,[fI()]SfISI()11局部渐近稳定。定理3.3.4当R01时，系统(3.1.3)是持久的。证明：令Q{xQx,()0,[,0],i2,3,4}i(3.3.5)Q{xQx,()0、x()0或x()0，[,0]}2340则Q0QQ/Q，易知Q是Q的边界。29 西北大学硕士学位论文由(3.3.5)易知文献[28]中的定理4.2中的（i）与（ii）都成立。根据定理4.2以及文献[41]中定理6.1的分析，可以得到（iii）-（v）都成立。同样，可以看出{}X0是孤立的，则覆盖是简单的，并且在Q内没有轨道连接X0到其自身，所以是非循环的，则（vi）也成立。00下面只需证明(X00){xQ:lim()txX}Q，其中()X0表示稳定集。t0假定存在一个解x(,,,)SEIR(X0)Q，满足：limSS,limE0,limI0,limR0。0tttt由定理3.2.1可知，当t0,S、I0时，取Lyapunov函数：tVt()ed1It()[fIu(())]()()SuIudu01t1即存在常数t00，使得Vt()00。沿系统(3.1.3)的导数：ddIt()Vt()e1[fIt(())]()()[StItfIt(())](St)(It)(3.1.3)11111dted1b{[fIt(())]()eStd1}()It1dR0ed1b{[fIt(())]Sed1}()It10dR0(R1)fIt(())01bIt()dR0由上可知，当R01且t足够大时，函数Vt()不一定非减。则对于上述给定的t0，对tt，则有Vt()Vt()，所以Vt()0阻止(,,)EIR在t时收敛到(0,0,0)，这与000SS矛盾。由文献[37]可知：耗散系统(3.1.3)的一致持续性等价于持久性。03.4数值模拟3.4.1拟合验证I选取fI()（k是人类对传染病的心理反应速率）。本文中参数kI1bd,3.5,4,27,0.0001,0.00005,k10的数据来源于文献[37]，121730030 第三章一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS模型的分析参考文献[36]得到0.02，参考文献[41]得到p0.02，则计算得：R0.0000031。011另外，选取参数bd,,0.15,4,27,0.02,，1273073000.01,kp10,0.02，0.02，则计算得：R1.17511。100.350.350.30.30.250.250.2II0.150.20.10.150.0500.101002003004005006000102030405060tt（a）（b）3.5=013=0.0112.52I1.510.50010203040506070t（c）0.118k=100.1160.114k=0.010.1120.11I0.1080.1060.1040.1020.105101520253035404550t（d）图3.1感染者随时间变化的变化图31 西北大学硕士学位论文上图都是取两组不一样的初始值，分别为((0),(0),(0),(0))SEIR(0.6,0.1,0.3,0)与((0),(0),(0),(0))SEIR(0.8,0.1,0.1,0)，（a）图指无病平衡点X全局渐近稳定，验证定0*理3.3.1的合理性；（b）图指地方病平衡点X局部渐近稳定，验证了定理3.3.3的合理性。（c）图与（d）图的初始值都选为(0.8,0.1,0.1,0)。通过观察基本再生数公式，可以发现媒体报道因子和人类对疾病的心理反应速率对基本再生数即地方病存在与否的阈值没有影响。然而，通过（c）图可以发现媒体报道对疾病的宣传越大（即值越大），1疾病将会控制得越低以及通过（d）图可以发现人类对疾病的心里反应速率越快（即k值越小），疾病将会控制得越低的现象。因此，媒体和人类对传染病的心理反应速率对控制疾病起重要的作用。3.4.2拟合拓展0.90.80.7S0.6数各0.5个目人群0.4数R目0.3E0.2I0.100102030405060t图3.2S、E、I和R随时间变化的变化图上图取五组不同的初始值((0),(0),(0),(0))SEIR(0.8,0,0.2,0)、(0.9,0,0.1,0)、(0.9,0.05,0.05,0)、(0.8,0.05,0.15,0)与(0.7,0,0.3,0)拟合S、E、I和R随时间的变化情况。从上图发现：不论初始值如何变化，最终易感者、潜伏者、感染者和恢复者数目都将趋于一个范围或者趋于一个固定值。因此，根据上图猜测地方病平衡点全局渐近稳定。目前，还没有找到合适的方法或恰当的V函数证实地方病平衡点全局渐近稳定，还需要继续探索研究。32 第三章一类带双时滞且受媒体报道影响的SEIRS模型的分析dRed1bdR00另外,从0,0可以看出：延长潜伏期可以控制疾病的传d()dpbd12播，但在实际操作中，一般难以改变，然而延长复发期对阻止地方病的形成作用不明显。3.5本章小节本文是在第二章的基础上，通过阅读文献[11]和[37]，受其模型的影响，将潜伏期和复发期以及潜伏者引入到模型中，建立了一类SEIRS传染病模型。同时，通过数值模拟得到：媒体报道和人类对传染病的心理反应速率对控制疾病起重要的作用，以及验证了定理的有效性。在本章内容中，我们目前还没有找到合适的方法证实地方病平衡点的全局渐近稳定性，还需要继续深入探索。另外，本章是在本文第二章的基础上多加考虑了双时滞对传染病的影响，但在实际中，传染病在爆发和传播的过程中仍然涉及很多因素，如年龄和人口流动量等，这些都是我们今后需要落实的工作。33 总结与展望总结与展望本文分为三部分分析一类传染病模型的稳定性问题。第一章主要是介绍生物数学中传染病模型的发展历程和研究方法，从而构建了本文的传染病模型以及研究思路。第二章运用Hurwitz判别法和Bendixion判据等方法，在具有logistic增长的SIRS传染病模型中引入媒体报道后，分析了模型的稳定性，并通过数值模拟发现人们对传染病的心理反应速率影响感染者的人数，以及人口最大容纳量越大感染者在总人数中的比例就越低，但最终会趋于一个固定值的现象。第三章运用Liapunov函数和Hurwitz判别等方法，对带有双时滞的SEIRS传染病模型进行稳定性分析，得到无病平衡点和地方病平衡点存在以及稳定的充分条件，并且通过数值模拟发现人们对传染病的心理反应速率和媒体对疾病的宣传力度对控制疾病有重要的影响的现象以及通过基本再生数的表达式发现符合该类模型机制的传染病延长潜伏期可以有效控制疾病流行的结论。本文研究的内容只是动力系统的一小部分，还有很多问题值得我们探索：1、本文第二章只分析了媒体报道在具有logistic人口增长的SIRS模型中的影响。事实上，医院中还经常会发生交叉感染，如流感、尿路感染等。与此相关的研究还不是很多，所以今后还可以在此基础上与其他因素相结合进行分析，更加接近实际。2、本文第三章还没有找到适合证实地方病平衡点的全局稳定性的方法，还有待进一步探索。3、本文建立的模型都是一般性的模型，适合分析多种传染病的发展趋势。今后也可以建立特殊的模型，具体分析一种疾病的发展趋势，目前此类研究还比较少。4、本文研究传染病的思路和方法也可以应用于其他行业的研究，如计算机病毒的传播，人类与大自然、社会等之间构建和谐的方式的研究等。34 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攻读硕士期间取得的学术成果攻读硕士期间取得的学术成果[1]王俊荣，窦霁虹，孙梦皎.一类受媒体报道影响的具有logistic人口变化的SIRS传染病模型的分析[J].陕西师范大学学报（自然科学版），（已录用）.[2]孙梦皎，窦霁虹，王俊荣.一类具扩散和食饵避难的Holling-Tanner模型的稳定性分析[J].西北大学学报（自然科学版），（已录用）.38 致谢致谢三年时间转瞬即逝，我的研究生求学之路渐渐接近尾声。回想三年前收到西北大学硕士录取通知书时的喜悦情景，依然历历在目。能求学于西北大学，感受百年名校的熏陶，接受名师的指导，结交优秀的同学，是我最大的荣幸。首先，非常感谢我的导师窦霁虹教授。窦老师渊博的知识、严谨的治学态度以及真诚坦荡的处世之道让我敬仰佩服。窦老师不论在我的生活上还是学术上，都倾注了大量的心血和精力。在此特别向我的导师窦霁虹教授致以我最诚挚的感谢，祝老师身体健康，工作顺利！其次，感谢曾经任教的各位老师毫无保留地传道、授业、解惑，让我在学习的过程中充分体会到学习的愉悦和知识的力量。最后，还要感谢研究生求学路上给予我很大支持和鼓励的同门孙梦皎、我的师姐、师妹和师弟，还有我的舍友们。正因为有你们，我的研究生生活才过得丰富多彩。祝大家学业有成，幸福快乐！39 常＿士字位论文ｉＭＡ＇ＳＴＥＲＳＤＩＳＳＥＲＴＡＴＩＯＮ