几类非经典扩散方程的渐近行为

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1、几类非经典扩散方程的渐近行为本文研究几类发展型非线性偏微分方程的渐近行为,涉及Fujita(?)临界指标与第二临界指标、整体解的渐近profile与非整体解的lifespan等问题.论文所考虑的四类非线性偏微分方程(组)特别包括伪抛物祸合组与非局部扩散方程这两类非经典扩散方程.我们着重考虑伪抛物耦合组中高阶粘性项,以及非局部扩散方程的源的局部化对解的渐近行为的特殊影响.本文分为以下四个章节：第一章介绍本文研究问题的实际背景及国内外发展情况,并概述主要内容和结果第二章考虑一类非线性伪抛物耦合组的Cauchy(?)司题.借助压缩不动点定理得到温和解

2、的局部存在性,进而得到古典解的局部存在性.借助于伪抛物方程基本解的正性性质建立该耦合组问题的比较原理.在这些准备工作的基础上,深入研究该问题的Fujita临界指标、第二临界指标,以及整体解的渐近profile.结果表明,高阶粘性项的存在形式上并没有改变对应经典抛物问题的两个临界指标以及渐近profile.然而，这一高阶项的出现给问题的研究带来了本质性困难,例如解的自相似性与正则性的缺失,基本解形式的复杂性等.第三章讨论源的非齐次性对解的渐近行为的影响.第一节研究具有局部化源的非局部扩散方程.结果表明,尽管扩散为非局部的,源的局部化仍然保持了对解

3、的渐近行为的巨大影响.在空间维数大于等于二时,不再存在Fujita现象.即使在一维情形，与非局部扩散方程的局部源情形相比,局部化因子的存在不仅使Fuiita(?)旨标变小(亦即使解对任意初值爆破的指标范围缩小),而且使第二临界指标也变小(从而提高了在整体解和非整体解共存区域爆破对于初值的门槛要求).第二节研究一类具有径向加权非线性源的p-Laplace方程.在已有Fujita(?)临界指标结果的基础上,进一步研究其第二临界指标，并对齐次源情形得到关于非整体解lifespan的一致性估计.第四章研究一类含有非齐次项的快扩散非线性耦合组的Fujit

4、a(?)临界指标与第二临界指标.结果表明,非齐次项存在,就会使问题的Fujita(?)临界指标发生改变,具体说,使解对任意初值爆破的指标范围扩大.但另一方面,小的非齐次项不改变第二临界指标.