2.2-2-矩阵范数与向量范数的相容性

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1、矩阵论/矩阵分析视频公开课矩阵范数与向量范数的相容性的概念，为矩阵与向本视频内容：量的联合起来进行分析，提供了理论保障矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数“矩阵范数诱导的向量范数”将告诉我们：对于任意矩阵范数，都可找到与武汉理工大学之相容的向量范数理学院统计学系金升平StatisticsDepartment二、矩阵范数与向量范数的相容性1.矩阵范数与向量范数的相容性定义3设∙是𝐶𝑛×𝑛上矩阵范数，∙是𝐶𝑛上向量𝑚𝑣nnn范数，如果AC,xC,AxAx,vmv则称矩阵范数∙𝑚与向量范数∙𝑣相容.下标使

2、用的原因：矩阵--matrix，向量--vectorStatisticsDepartment定理1(1)矩阵范数mF1,分别与12,相容；(2)矩阵范数m与向量范数12,,相容.以矩阵范数m1与向量范数1为例证之.nnTn设AaijC,xxx12,,,xnC.则nnnn和的绝对值小于等Ax1axijjaijxj绝对值之和。i1j1i1j1将𝒙𝒋放大nnnaijxkAxm11.ij11k1StatisticsDepartment2.由

3、矩阵范数诱导的向量范数nnn设m是C上一个矩阵范数，取aC,且a0.Hn定义xxa,xC.vmn可以证明，它是C上的向量范数，称为由矩阵范数∙𝑚所诱导的向量范数.事实上，(1)正定性：当𝟎≠𝒙∈𝑪𝒏时，𝒙𝒂𝑯≠𝑶Hxxa0vm而当x0H0xxavmStatisticsDepartment（2）齐次性：当C时，HHxxaxaxvvmm（3）三角不等式：HHHxy()xyaxayavmmHHxayaxymmvvStatisticsDepartment定理2𝐶𝑛×𝑛上任意

4、一矩阵范数∙与它所诱导的𝑚向量范数∙𝑣相容.证明只需证相容性即可HHAxAxaAxavmmHAxaAxmmvmStatisticsDepartment矩阵论/矩阵分析视频公开课矩阵范数与向量范数的相容性下一讲内容：矩阵范数诱导的向量范数向量范数诱导的矩阵范数（完）Seeyounexttime武汉理工大学理学院统计学系金升平StatisticsDepartment