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1、曲线形式已不能适应用计算机进行大规模、复杂、准确的计算的需要了。需要将其表达成数学表达式,才能方便使用和编制计算机程序。比如,蒸馏计算中求最少理论塔板数的吉利兰(Gilliland)图,要想编制计算机程序,就得将此图整理成一个数学表达式,然后才能编入计算机程序。这种由现有的曲线整理成数学表达式的过程,我们常称之为曲线的拟合。此外,实验研究工作中探求某种未知规律y=f(x),本质上是由实验数据,即利用测试点(xi,yi),i=1,2,⋯,n,求取数学模型。以下分别列举曲线拟合和实验数据整理的两个例子。R-Rm
2、in例3-8吉利兰关联图如图(3-8)所示,假设横坐标为自变量x=,R+1N-Nmin纵坐标为因变量y=。在曲线上取若干个点(xi,yi),每一个xi有一个N+2yi值与之对应。如表3-3所示,这里i=1,2,⋯,10。图3-8吉利兰关联图表3-3吉利兰关联图上的10个点ixiyiixiyi10.010.6960.30.3720.020.6770.40.3130.040.6280.50.2440.10.54990.1950.20.4510100.0根据这10个点数,或称为10个实验点,将该曲线拟合成一个数学
3、表达式。解:把吉利兰曲线与函数的典型图形相对照,选定该曲线的数学模型为如下幂函数形式:by=a+b21x(3-37)·73·c将xi(i=1,2,⋯,10)代入式(3-37),则有计算值yi(i=1,2,⋯,10)与之相对应:cby21=a+b1x1cby22=a+b1x2⋯⋯cb2y10=a+b1x10c现在,设计一个平方和函数,使计算值yi与实验值yi的残差平方和为最小。并设残差平方和为S,则可得如下平方和函数:10c2S=∑(yi-yi)i=110b2=(a+b2∑1xi-yi)(3-38)i=1由于
4、上式中xi,yi均为已知值,而a,b1,b2则是需要待定的参数。它们的取值不同时,S也要相应地改变,所以S实际上是一个三变量的函数,记为fi(a,b1,b2)=cyi,只有当a,b1,b2取为a,b1,b2,并满足102S=min∑(fi(a,b1,b2)-yi)(3-39)i=1时,才认为该数学表达式与实验所得到的曲线拟合得最好。例3-9设在一等温积分反应器的动力学实验中,某化学反应式为k1k2ABC当t=0时,cA0=1,cB0=0,cC0=0。由于cA+cB+cC=1.0,所以描述反应器出口反应物浓度
5、的变化方程只需两个,即-ktcA=e1(3-40)k1-kt-ktcB=(e1-e2)(3-41)k2-k1这里,自变量为t;因变量为cA,cB;k1,k2为待定的参数。表3-4由实验测定得的9组数据iticAicBiiticAicBi101.00.006500.1370.571250.840.1557800.0300.5023100.6790.32781000.0060.3854150.5030.42692000.0000.1455200.4250.477·74·因为kuilim1+→1λ→∞λ从而有n2
6、k2∑(wi)2i=1limcosθ=nλ→∞k2kTk∑(wi)(G)Gi=1nk2∑(wi)kTki=1(W)W=kTk=kTk(G)G(G)GTkTTk(SG)SG=kTk(G)GkTTk(G)SSG=kTk=1(G)G故有limcosθ→1λ→∞kkkk由此得出,当λ→∞时,p与G的夹角趋于零,也即p与-ΔZ(x)的方向趋于一致。马夸特法的计算步骤见附录8的计算框图。3.5.6化工实例———Gilliland曲线的拟合现以例3-8为例,确定式(3-37)中的3个参数a,b1,b2。解:为习惯起见,将
7、式(3-38)中a,b1,b2和xi分别改记为x1,x2,x3和Ri,yi仍记作yi则该问题的目标函数为10x2minS=∑(x1+x2Ri3-yi)i=1函数fi(x)的梯度表达式为Tꚹfi(x)ꚹfi(x)ꚹfi(x)Δfi(x)=,,ꚹx1ꚹx2ꚹx31.0x=Ri3xx2Ri3ln(Ri)0T0取λ=0.01,μ=2.0,x=(0.6,-0.4,0.3),则目标函数S=0.1809,0x点的Jacobin矩阵为·84·1.00.25120.46271.00.30920.48391.00.38070.
8、49021.00.50120.46161.00.61700.39720J(x)=1.00.69680.33561.00.75970.27841.00.81230.22521.00.85790.17531.01.00.00000F(x)=(-0.1905,-0.1973,-0.1723,-0.1405,-0.0968,T-0.0487,-0.0139,0.0351,0.0668,0.2)0T0T-J(x)F(x)=
