随机变量学习指要

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1、随机变量学习指要李伟随机变量这一大节中，主要研究的是离散型随机变量。对于离散型随机变量，首先应明确它能取到哪些值，在此基础上，我们来探讨三方面的问题：（1）取每个值的可能性的大小（概率），（2）这些值的平均水平，（3）这些值的集中和离散程度。这就是本大节中我们要研究的三个基本问题：离散型随机变量的分布列、期望、方差。它们从三个不同的侧面描述了离散型随机变量的数量特征。一.概念解析1.随机试验教科书上不加定义地引入了“随机试验”的概念。一般地，一个试验如果满足以下条件：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验后可能出现的多种结果，是事先明确的，但在一次试验进行之

2、前，不能肯定这次试验究竟发生哪一种结果；（3）每一次试验总是恰好出现这些结果中的一种。那么我们称这个试验是随机试验。2.随机事件随机试验的每一种可能的结果（或表现）叫作一个随机事件，简称为事件。例如预测明天天空中云量情况，可能出现的晴天、多云、阴天，这些表现就是一些随机事件。随机事件可用一个大写字母来表示，如事件A（晴天），事件B（多云），事件C（阴天）。3.随机变量许多随机事件表现为数量形式。如“从100件产品中抽出5件，其中不合格产品的个数”。但有些随机事件并不具有数量形式。这时，我们也可把这样的随机事件与实数之间，人为地而又合理地建立起一种对应关系，使每个随机事

3、件都对应着一个实数，那么，随机事件就可以用这些实数为变量来表示，这个变量叫随机变量。例如，天空中云量的情况，我们可以把随机事件：晴天，多云，阴天，分别用随机变量1=0,1,2来表示。随机变量的引入，使得我们可以用数学的方法来研究随机事件的规律。、内容指要本大节的重点内容是离散型随机变量的分布列、期望、方差。解题的关键是运用排列、组合、概率知识，求出随机变量的分布列。因为有了分布列，期望与方差问题就迎刃而解了。1.离散型随机变量的分布列教科书的第5页给出了该定义。可以看到，分布列的第一行列出了随机变量可能取到的所有值，第二行给出了第一行各个值相应的概率值，从而完整地刻画

4、了随机变量的统计规律。由随机变量的实际意义可知：第二行各值必须是非负值，且这些非负值之和为1。例如下面的两个数表：表1246213555表201231112P13232一■个是第一■行各数之和一+-+—=—a1,另一■个第二行尽管有—十—4——-=1,但其中55553232,,1的-一＜0。因此，这两个数表不能是某个随机变量的分布列。22.随机变量的数学期望随机变量的分布列，显示了随机变量取值的统计规律，但还不能反映出随机变量取值的平均水平。而依据数学期望的定义（见教科书第10页），对分布列再进行计算，就可得到随机变量取值的平均值。为了理解数学期望的实际意义，我们来看

5、一个例子：某人从事一项商业活动，成功率为0.3。若成功，则获利5000元；若不成功，则亏损1000元,求它获利的期望值。可知获利数巴的分布列如表3。表35000-1000P0.30.7E=50000.3(-1000)0.7=800可知此人有望获得利润800元。这里加以说明，如果该人只从事一次这项商业活动，那么不是赚5000元，就是亏1000元，不可能赚得800元。但是，他多次从事这项商业活动，从平均意义上来讲，那么一次可赚得800元。在实际问题中，我们可以运用数学期望进行决策。例如，教科书在本章引言中(见教科书第3页)的一个问题，可设该商场在商场外搞促销活动获得的经济

6、利益为X万元，则有表4。表410一4P0.60.4E=100.6(-4)04=4.4可见在商场外搞促销活动的平均效益是4.4万元，超过了在商场内^^促销活动的2万元的效益。因此，在该商场应选择在商场外搞促销活动。2.随机变量的方差数学期望刻画的是一组数据或一个随机变量取值的平均水平，但有时我们还要知道这组数据的集中程度。而方差就反映了随机变量所取值与平均值(即数学期望)的离散程度。我们来看一个例子。甲、乙两名工人加工同一种零件，分别检测5个工件，结果如表5、表6。表532829303132P0.100.150.500.150.10表62829303132P0.130.

7、170.400.170.13不难求得EE甲=30,E之乙=30,可见他们的平均值(期望)相同。谁的质量更好些呢？下面计算他们的方差。D)=(28—30)2父01+(29-30)2父015+(30-30)2『05+(31-30)2父。15+2(32-30)20.10=1.1D七乙二(28—30)2xQ13+(29—30)2=<0,17+(30-30)2=<040+(31-30)2X0.17+(32-30)20.13=1.38由D匕甲