（高等数学）概率统计与随机过程

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1、第十六章概率统计与随机过程本章扼要的介绍了概率论的重要内容，除了介绍随机事件及其概率、随机变量和分布函数、随机变量的数值特征、概率母函数、矩母函数和特征函数、大数法则和中心极限定理等基本概念外,还介绍了正态分布表和概率纸的用途。这一章着重的叙述了常用数理统计方法，包括样本及其频率分布、总体参数的区间估计、统计检验、方差分析、回归分析、正交实验设计、抽样检验、质量评估（工序控制）等八个部分；最后简述了随机过程论的基本内容，突出了较为常用的马尔科夫过程和平稳随机过程。§1概率论一、事件与概率1.随机事件及其运算关系[随机事件·必然事件·不可能事件]在一定条件下，可能发生也可

2、能不发生的试验结果称为随机事件，简称事件，用A,B,C,···表示。随机事件有两个特殊情况，即必然事件（在一定条件下，每次试验都必定发生的事件）和不可能事件（在一定条件下，各次试验都一定不发生的事件），分别记为Ω和Φ。[事件的运算关系]°1包含当事件B发生时,事件A也一定发生，则称A包含B或B包含于A中，记作A⊃B，或B⊂A。°2等价如果A⊂B且A⊃B，即事件A和B同时发生或不发生，则称A与B等价，记作A=B。°3积表示事件A和B同时发生的事件，称为A与B的积，记作AIB(或AB）。°4和表示事件A或事件B发生的事件，称为A与B的和，记作AUB(或A+B）。°5差表示事

3、件A发生而事件B不发生的事件，称为A与B的差，记作AB（或A−B）。°6互斥如果事件A与B不可能同时发生，即AB=φ，那末称A与B是互斥（或互不相容）的。°7对立如果事件A与B互斥，又在每次试验中不是出现A就是出现B，即AIB=φ且AUB=Ω，那末称B为A的对立事件，记作B=A。°8完备如果事件A1，A2,···,An在每次试验中至少发生一个，即AUAULUA=0，12n则称{A1，A2，···，An}构成一个事件完备组。特别当A1，A2，···，An又是两两互斥时，即AiIAj=φ（ij≠，i，j=1，2，···，n），就称{A1，A2，···，An}是两两互斥的事

4、件完备组。2、概率的几种定义[频率与概率]随机事件在一次试验中是否发生，固然是无法事先肯定的偶然现象，但当进行多次重复试验，就可以发现其发生的可能性大小的统计规律性。具体说，如果在相同条件下进行nν次重复试验，事件A出现了v次，那末事件A在n次试验中出现的频率当n无限增大时呈现稳n定性。这一统计规律性表明事件A发生的可能性大小是事件本身所固有的、不以人们主观意志改变的一种客观属性。事件A发生的可能性大小称为事件A的概率，记作P(A)。当试验的次数n足够大，可用事件的频率近似地表示该事件的概率，即vP(A)≈n[概率的古典定义]设一个随机试验（不能事先准确的预言它的结果，

5、而且在相同条件下可以重复进行的试验）只有有限个不同的基本事件ω1,ω2,···,ωn（基本事件也是一种事件，一般的*事件总是有几个基本事件共同组成的），每个基本事件都是等可能的，基本事件的全体记作Ω，称它为基本事件空间，如果事件A由k(k≤n)个不同的基本事件组成，那末规定A的概率P(A)为kP(A)=n不可能事件φ的概率规定为P(φ)=0[概率的公理化定义]定义1设Ω={ω}，F={A

6、A⊂Ω},如果F满足下面条件：（i）Ω∈F;(ii)若A∈F，则A∈F（A=ΩA）;(iii)对于任意A∈F(n=1,2,···)，有n∞UAn∈Fn=1则称F是Ω中的一个σ代数。定

7、义2设P(A)(A∈F)是σ代数F上的实值集函数，如果它满足条件：（i）对任意A∈F，有0≤P(A)1≤；（ii）P(Ω)=1；（iii）对任意A∈F(n=1,2,···)，AiIAj=φ(i≠j)有n*（在应用中，往往当一种事件没有任何理由比另一事件更容易发生时，就认为这两个事件等可能）∞∞P(UA)=∑P(An)n=1n=1则称P(A)为F上的概率测度，或简称概率。这时，称ω为基本事件，A(∈F)称为事件，F是事件的全体，P(A)称为事件A的概率，<Ω,F,P>称为概率空间。3．概率的基本性质°10≤P(A)1≤°2P(必然事件)=P(Ω)=1°3P(不可能事件)=

8、P(φ)=0°4P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AIB)若A,B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)若A1,A2,···,An两两互斥，则P(AUAULUA)=P(A)+P(A2)+···+P(An)=112n1°5若A⊃B，则P(A)≥P(B)°6若A⊃B，则P(A)−P(B)=P(AB)°7对任意事件A，P(A)=1−P(A)°8若A1,A2,···,An是两两互斥的事件完备组，则P(AUAULUA)=P(A)+P(A2)+···+P(An)=112n1∞°9设An∈F，An⊃An+1,n=1,2,···,令A=IAn,则