学数学奥林匹克辅导与练习21

《学数学奥林匹克辅导与练习21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三阶幻方（二）同学们：我们今天继续学习三阶幻方，通过上次学习，同学们初步掌握了求三阶幻方的方法。下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方。（一）学习指导与解答例1.在下图的的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。现在另有一个的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。见图。例2

2、.在的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。分析：为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图4。因为幻和为36，所以可求出中心数为：，即从第二行可求出从对角线中可求出从第一列可求出从第一行可求出从第二列可求出从第三列可求出得到三阶幻方如下：从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。例3.将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中，

3、使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。分析：由于1、5已填好，按照奇偶相间的要求，五个奇数应在四个角及中心，如图2。例4.写出一个三阶幻方，使其幻和为24。因为三阶幻方，幻和为24，所以其9个数的和为，假设这9个数为，所以，这9个数为4、5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方，如图：例5.从1～13这13个数中挑出12个数，填入图1中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。如图：分析：在1～13这13个数中，因为，，所以1～13中去掉7，由，所以要求横行和为28，竖列和为21，先将除7外的1

4、2个数分为4组，每组中3个数之和为21，然后再调整，使每横行四个数的和为28，这样可得出解，如图1、2。［答题时间：30分钟］（二）认真审题，独立完成（1）将这九个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。（2）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。（3）将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中，使每一横行，每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。请做完之后再看答案！【试题答案】（二）认真审题，独立完成（1）将这九个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。由于2

5、、3、4、6、12的最小公倍数为12，所以将9个分数分别扩大12倍，得到6、4、3、2、8、9、1、5、7，而的幻方是熟知的，如图，再将图中的每个数除以12就是所求。（2）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。根据幻和为45，可知中心数为，又由于，。经验证，可排出三阶幻方。（3）将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中，使每一横行，每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。把1～9填在幻方中的每个数乘以2再减1，就得到1～17这九个奇数所填的三阶幻方是：