几何证明中中点的妙用

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1、太原漪汾校区：康凯芳例1：如图，在△ABC中AB=17,AC=15，ABC边上的中线BDCEAD=4，求△ABC的面积。变式训练1：如图所示，在△ABC中，AB=2,AC=4，AM为BC的中点，则AMBCM的取值范围是D变式训练2：如图，正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、FHE•AM3，且B、C、G在同一D条直线上，M是线段AEBCG的中点，连接MF，则MF的长为在图形中对中点问题的理解（一）小结：还原中心对称图形（倍长中线、“8”字型全等）由于线段本身就是中心对称图形，而中点就是它的对称中心，所以遇

2、到线段中点问题，依托中点借助辅助线还原中心对称图形，这样就能将分散的条件巧妙地集中起来，这是解决线段中点问题最常采用的方法。例2：如图，在A△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，F点E是CD的中点，D点F是AB的中点，E1求证：EF=AB2BC．变式训练：已知:如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，若BD=BC，ADF是CD的中点，试问：F∠BAF与∠BCD的大小关E系如何？请写出你的结BC论并加以证明。在图形中对中点问题的理解（二）小结：等腰三角形中的“三线合一”“三线合一”是初中阶段平面几何中一个非常重

3、要的结论和解题工具，运用得好往往会使我们的思考过程“柳暗花明”。例3：我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形，请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图①所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AGBC上，且CD=CA，点E、FFH分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G，BDEC求证：四边形AGEC是等(1)邻角四边形；（3）如图②所示，若点D在△ABC的内部，AG（2）中的其他条件不FM变，EF与CD交于点H。DH图中是否存在等邻角四BEC边形，若

4、存在，请指出⑵是哪个四边形，并证明之；若不存在，请说明理由。在图形中对中点问题的理解（三）小结：构造中位线因为三角形的中位线在位置关系和数量关系两方面将三角形中的有关线段沟通起来，能将三角形中分散的条件集中起来，或者使图形中隐藏的条件显露出来，所以借助三角形的中位线也是解决中点问题的另一个有力武器。例4：如图，在△ABC中，分别过B、AC两点作AB、AC的垂E线，使它们相交于•CBF点D，E为AD的中点，EF⊥BC于点F，求证：DBF=CF．变式训练：已知：在△AOB中，AB=OB，在△COD中，CD=OC，BA∠ABO=∠

5、DCO，连接AD，MBC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点。oP．（1）如图①所示，若A、NO、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMNCD的形是，（1）AD此时BC=；（2）在图②中，若A、O、C三点在同一直线上，且BA∠ABO=2，证明：M△PMN∽△BAO，并计算OADNBC的值（用含的式PD子表示）CC在图形中对中点问题的理解（四）小结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理是初中阶段非常重要的性质，它常与中位线及其与圆相结合来应用例5：在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿

6、着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图⑴所示，直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如图⑵所示。请你用上面图示的方法，解答下列问题：AEFP(E)①②①③②③BC(A)请你用上面图示的方法，解答下列问题：对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；AAGDEEBCBCDJF对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形；对任意三角形不等边，设计一种方案，将它分成两块，再

7、拼成一个与原三角形面积相等的等腰梯形。AEDBPFC变式训练：正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=b（b＜2a)，且边FAD和AE在同一条直线上，小AHD(E)明发现：当b=a时，如图所示，G在BA上选取中点G，连接FG和BCCG，裁掉△FAG和△CBG的位置构成正方形FGCH（1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图（2）要使图①中所拼的新图形是正方形，须满足BG=AEFFFFADADHAAHEEEEDDGGBCBC②④BCBC③④在图形中对中点问题的理解（五）

8、小结：与等面积相关的图形变换在进行图形操作试题时，通常借助中心对称进行剪拼，利用平行线实现等积变形，在正方形中则常利用构造弦图来剪拼。综合应用已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，AD过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF