点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

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1、点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系　一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．(二)能力训练点通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力．(三)学科渗透点点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化．二、教材分析1．重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交

2、(弦长问题)；(2)圆系方程应用．(解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代线方程，弦长计算问题；(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程．)2．难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明．(解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)切线方程的证明．)三、活动设计归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习．四、教学过程(一)知识准备我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们

3、先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识．1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r点M在圆外；(2)d=r点M在圆上；(3)d＜r点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，判别式为△，则有：(1)d＜r直线与圆相交；(2)d=r直线与圆相切；(3)d＜r直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0直线与圆相交；(2)△=0直线与圆相切；(3)△＜0直

4、线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r两圆外切；(2)d=k-r两圆内切；(3)d＞k+r两圆外离；(4)d＜k+r两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程

5、为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为

6、参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．(二)应用举例和切点坐标．分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析．一般来说，从几何特征分析计算量要小些．该例题由学生演板完成．∵圆心O(0，0)到切线的距离为4，把这两个切线方程写成注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)

7、的切线的方程为x0x+y0y=r2，例2　已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长．分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成．证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q．例3　求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=

8、0的公共弦为直径的圆的方程．解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25．解法二：设所求圆的方程为：x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0