由递推式求数列通项典型例题的技巧解法

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1、由递推式求数列通项的典型题的技巧解法对于由递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列满足，，求数列的通项公式。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2.已知数列满足，，求数列的通项公式。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，（2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有，，，依次向前代入，得，简记为，这就是

2、叠（迭）代法的基本模式。（3）递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异。例3．设数列：，求数列的通项公式。解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.例4．已知，，求数列的通项公式。解：类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。在数列中，若，则该数列的通项。例5.已知数列中，，，求数列的通项公式。解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）

3、。（或,其中p，q,r均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：。引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例6.已知数列中，,，求数列的通项公式。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以数学驿站：类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。已知数列满足求数列的通项公式。例7.已知数列中，,,，求数列的通项公式。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所

4、以。类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：利用进行求解。例8.已知数列前n项和，（1）求与的关系；（2）求数列的通项公式。解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例9.已知数列中，；数列中，。当时，,，求数列、的通项公式。解：因所以即…………………………………………（1）又因为所以…….即………………………（2）由（1）、（2）得：，总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.练习题1.（上海文数）已知数列的

5、前项和为，且，，求的通项公式.（）2.（重庆理数）在数列中，=1，，其中实数，求的通项公式.（，）3.（四川理数）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.（（Ⅰ）a3＝6，a5＝Ⅲ）Sn＝）4.（全国卷Ⅰ理）在数列中，，设，求数列的通项公式.(，).5.(湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。令，求证数列是等差数列，并求

6、数列的通项公式.（）6.（全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为已知.（1）设，证明数列是等比数列.；（2）求数列的通项公式.（）