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    浅谈用设元法解题

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    浅谈用设元法解题

    浅谈用设元法解题 摘要 设元法是数学中的一种创新的解题方法。在数学解题中可以运用数值设元、 整体设元、部分设元、比值设元、均值设元、共轭设元等设元法去解题,达到事半功倍, 培养学生的创造性意识和创新思维。 关键词 设元法 解题方法 数值 整体 部分 比值 均值 共轭 创造性意识 创新思 维 设元是常用来解题的方法,设元法也是数学中一个非常重要而且应用十分 广泛的解题方法。通过设元可以沟通条件和结论之间的联系,为开辟解题途径 架起桥梁。我们通常把所设的未知数称为元,所谓设元法,就是在一个比较复 杂的数学式子中,设原式中的某一个部分为一个新的元,然后把这个元代入原 来的式子中,使之简化,再进行计算,这样就会使问题容易解决。设元法的内 涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛具体的普遍性与现实 问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点而采取相应的设元方法来解决。许 多同学在解题过程中,习惯于按常规方法进行推理、计算,而不能灵活运用设 元法。我们可以启发学生根据题目的结构和特征,展开丰富的联想拓宽自己的 思维范围,巧妙地运用设元法来解题,这样就可以培养学生创造性意识和创新 思维,同时对学生的解题能力也有所提高。 一 、 适当运用数值设元,提高学生的解题能力。 我们经常遇到一类问题,很难直接通过推理和演算得到答案,而需要另外 找一条捷径,适当设元,代入后计算,方能得解,这样就能提高学生的解题能 力。 例 1 计算(1 7 1 6 1 5 1  7 1 6 1 5 1 8 1 7 1 6 1 5 1 1 8 1 7 1 6 1 5 1  解设,则原式(1)x, 7 1 6 1 5 1 xxxx 8 1 1 8 1  8 9 8 1 8 9 22 xxx 8 1 这题如果采用常规算法则显然麻烦又容易出错,但是通过数值设元,把数的 运算转化成式的运算,这样解题就显得简单、便捷。 二、 巧妙运用整体设元,培养学生的思维能力。 整体思想是一种重要的数学思想。有些数学问题,可以从整体形式、整体结 构考虑,适当设元,就可以顺利简便的解题,培养学生的思维能力。 例 2 设 x、y 为实数,那么的最小值是多少yxxxyx2 22  解设myxyxyx2 22  将等式整理成关于 x 为主元的二次方程,得 、y、m 均为实数xQ 第 2 页 共 5 页 121, 0 0, 11 1 44 131634 024 1 22 22 22      有最小值有最小值,即代数式时,故当 时,有当 即 yxyxyxmyx xym m yyym myyy 上一题要直接求出所求式的值很困难,故可采取整体设元,巧妙地运用判 别式来解决, 思路就显得非常简捷。 三、灵活运用部分设元,培养学生的创新能力。 有时我们可通过部分设元的方法来解题,训练学生的发散思维,谋求最佳 的途径,达到思维的创新,从而培养学生的创新能力。 例 3 求方程的解。33 22  xx 解设,则愿方程可化为方程组3 2  xy xy ① 3 2 yx ②3 2 ①- ②可得(x-y)xy10 01, 0yxyx或 于是原方程可以化为以下两个方程组 x-y0 xy10 yx 或 yx 3 2 3 2 解得 . 2 , 1, 2 131 , 2 131 4321     xxxx 本题通过部分设元,把解方程转化成解方程组,为解题开辟了新的空间, 同时也培养了学生的创新能力。 四、合理使用比值设元,培养学生的探究能力。 比值设元这种方法在解题过程中是经常运用的一种方法,有些方程组中给 出了几个未知数的比值关系,这时我们可以通过他们之间的比例系数来重新设 一个未知数,本来有几个未知数的方程组,然后通过关系换算,把方程组转化 成我们熟悉的一元一次方程来解,从而培养学生的探究能力。 例 4 解方程组 第 3 页 共 5 页 ① 3 2  y x ② 4 3  z x ③23zyx 解由①得 xy69 由②得 xz68 896zyx 设 x6k,y9k,z8k 代入③得 6k9k8k23 1k 原方程的解是 x6,y9,z8 本题通过比值设元,达到了减元、消元的目的,这样就能很快求出方程组 的解来。 五、偶尔使用均值设元,提高学生的判断能力。 在某些问题中,已知两个未知量的和,这时可将这两个未知量用它们的均 值和一个新的变量来表示,从而使计算化繁为简,我们称这种方法为均值设元 法,运用这种方法可以提高学生的判断能力。 例 5 已知实数满足求的值。cba、、, 9, 5 2 babcbacba32  解由设代入得, 5bambma 2 5 , 2 5 , 9 2 babc ,9 2 5 4 25 22 mmc 整理,得,0 2 1 22  mc , 2 1 ; 0mc 于是可得 , 3, 2ba .832cba 本题如采用常规解法,很难奏效,而采用均值设元,把不定方程组转化成 不定方程,再利用非负实数的性质,使题目很巧妙地得到解决。均值设元实际 上是设元思想的一种具体运用,它利用了两个量的平均值和一个字母,沟通了 原来两个量之间的关系,这样就能够简便计算。 六、巧用共轭设元,培养学生的自主能力。 第 4 页 共 5 页 在有些数学题目中,有带多重根号的计算,并且这些带多重根号的式子中 含有共轭关系的,我们可以通过共轭设元来化简,去掉多重根号,就会很快算 出结果,从而培养学生的自主能力。 例 6 计算的值。7575 解设,,75x75y ,,75 2 x75 2 y ,47575xy ,142 222 yxyxyx 即.535314 本题通过共轭设元为解题找到了捷径,这比用常规解法显得更加简便。 在数学解题中,用设元法解题不仅是解应用题的常用方法,而且还是解代 数式和方程(组)中常用的一种方法,它的用法非常广泛,还常常能使一些代 数式和方程(组)简单化。在数学解题过程中要善于观察式子的特点,敢于创 新,善于运用设元法去解题,这样就会达到事半功倍的效果,既提高了学生的 解题能力,又培养了学生的创造性意识和创新思维。 参考文献 (1) 、十三院校协编组 中学数学教材教法 高等教育出版社出版 1981 年 12 月出 版 2、王林全 林国泰主编 中学数学思想方法概论 暨南大学出版社 2003 年 3 月出版 第 5 页 共 5 页

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