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1、85abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doc【title】Act3 Cramer'sRule【ContentArrangement】: 1)Cramer'sRule2)SomemethodstocomputedeterminantAct3-1Somemethodstocomputethedeterminant(行列式的特殊解法)【ContentArrangement】: 1、化为三角形2、降阶法 3、Vandermonde 4、递推法 *5、拆项法*6、析因子法*7、拉普拉斯定理的特例1.化为三角形(加边法)例1:2、降阶法 例:解
2、:785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doc 请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时,D的值?(不要套公式)3.Vandermonde例:Vandermonde行列式 证明用数学归纳法。 当n=2时,成立。假设该结论对n-1阶成立,现证明n阶也成立。在中,第n行减去n-1行的倍,n-1行减去n-2行的倍,依次类推,得 4。递推法:785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doc例:解:按第一列展开,得: 而:。 故5、
3、拆项法:例:计算行列式解:6、析因子法:例: 解:很明显,=1,2,3,…,都使得=0,而是的次多项式,首项系数为1。且,,…,为互质多项式,故,,…,
4、 7.拉普拉斯定理的两个特例 785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.docAct3-2 Cramer'sRuleNowwewilldiscussthesystemofnlinearequationsinnunknowns. Theorem1:Thesystemoflinearequations(1)Thedeterminantiscalledthecoefficient
5、determinantofthesystem..IfthecoefficientdeterminantDofthesystemisnonzero,thenthesystem(1)haspreciselyonesolution,givenbytheformulas.(2)whereisthedeterminantobtainedfromDbythejthcolumnbythecolumnwiththeelementsb1,...,bn.Proof:首先证明(2)是方程组的解。为此把(i=1,2,…,n)代入方程组的第k个方程左端得, 785abc099834a2e6
6、4511fa78fb47526c8.doc 由行列式性质7、8有, 下证解的唯一性:设有另解, 只须证 同理可得,证毕。本定理适用条件: 1、n个未知数,n个方程得方程组; 2、系数行列式D不为零; 3、若D=0,方程组可能无解或有无穷解。Definition:If b1=0,...,bn=0,wecallthesystemhomogeneous. 785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doctrivialsolution:()Co
7、rollary1:Ahomogeneoussystemofnlinearequationsinnunknownswithnonvanishingdeterminanthasonlythetrivialsolution. Corollary2:Ifahomogeneoussystemofnlinearequationsinnunknownshasnontrivialsolution,thenD=0.Example1:Solvethefollowingsystemof linearequations.Solve:系数行列式为: 解的分子行列式为:
8、 785abc099834a2e64511fa78fb47526c8.doc 所以解为:Example2:SolvethefollowingsystemSolve:系数行列式为:所以方程组只有零解,即x=0,y=0,z=0 【随堂练习】1.方程组有非零解, 。Answer: 2.设多项式,证明:若有个互异零点,则恒等于零。Proof:设的个互异的零点为,则有,即这可视为以为未知量的齐次线性方程组,其系数行列式为n+1阶范德蒙行列式的转置,故于是由